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Le tabelle di contingenza sono un particolare tipo di tabelle a doppia entrata (cioè tabelle con etichette di riga e di colonna), utilizzate in statistica per rappresentare e analizzare le relazioni tra due o più variabili. In esse si riportano le frequenze congiunte delle variabili.
Esempi
Il caso più semplice è quello delle tabelle tetracoriche, in cui ciascuna delle due variabili assume solo due possibili valori, per esempio:
Capelli Occhi | biondi | non biondi | Totale |
chiari | 21 | 19 | 40 |
non chiari | 9 | 51 | 60 |
Totale | 30 | 70 | 100 |
in cui, tra le 100 persone esaminate, 30 hanno capelli biondi, 40 hanno occhi chiari, e 21 hanno capelli biondi e occhi chiari. Da questi dati è possibile ricavare i dati restanti della tabella.
Utilizzando le tabelle di contingenza e operando specifici calcoli su di esse, si può arrivare a determinare la dipendenza o indipendenza tra le due variabili considerate, ad esempio in base al valore assunto dall'indice di contingenza quadratico
(di Pearson).
Le due variabili considerate sono di tipo quantitativo discreto o qualitativo. Indicando tali variabili con
e
, e rispettivamente con
e
le modalità rilevate per le due variabili, a ogni coppia
si fa corrispondere nella tabella la sua frequenza associata
, cioè il numero di elementi, tra gli
della popolazione, che possiedono contemporaneamente la modalità
di
e
di
.
Y X | ![{\displaystyle y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4db76d658a98219aca14df06d9869d2b43c42) | ![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle y_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8df4e372390588acb968986cfc388e50b930b3a) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933) | Totale |
| ![{\displaystyle n_{1,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5f818c2f070df026d6ecf3fbd3b3a1320517ca) | ![{\displaystyle n_{1,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179ae8f079c45e8a94028215d96f8f878b22f9d7) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{1,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa2f2502e2a610d17861a1c8f5c7f3e2a4fa026) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{1,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9846d77067382d817cd5d6db702392dafb0053) | |
| ![{\displaystyle n_{2,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bc7869f1dea123fb57493328cd129d1a4fdf68) | ![{\displaystyle n_{2,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68975f1c2f6b7dcc5491bf5aeb4a2587b28f0e8) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{2,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da057c40cb39c73d6b7931409099e598cf91b761) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{2,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b645506332e9ee9e0a6003e93446fffad0e72c) | |
| ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \ddots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f719d9487a2b0e82b38b52421987fedd9de1d4e3) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | |
| ![{\displaystyle n_{i,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9308f8af004cd5881f9755afebebdf12095c1c2) | ![{\displaystyle n_{i,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81d708a75c0154b7976efaee9c7f14f6ac82e57) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292ee1f4999efc9a7938840c62ea763f9489ddd7) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{i,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa5ec61ac268c1736d471ae092773e3ddd3515e) | |
| ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \ddots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f719d9487a2b0e82b38b52421987fedd9de1d4e3) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | |
| ![{\displaystyle n_{h,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562f8f327cfa828f7442990fb645a12bd5683ac4) | ![{\displaystyle n_{h,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/776f8ce91c26fbf3d83abc6c77d160d7c61542e5) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{h,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35cdefe2cc5f40a8960ef7479af9d830bc685f8) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{h,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/895407c22dbcb55e0d628ef494a048692329c138) | |
Totale | ![{\displaystyle n_{\cdot ,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a5b05ed25a3431a7c85f1221f6b057f792fa43) | ![{\displaystyle n_{\cdot ,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5648846da90ac52203214bfcd42ee22a220f94) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{\cdot ,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10662d17c9a9c9384642afa68f8e0a26e16e03e1) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle n_{\cdot ,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572ed780697b36d5f311c5ebbcb2d65ad9726d29) | |
dove
rappresenta le frequenze marginali assolute di
,
rappresenta le frequenze marginali assolute di
.
Sommando tutte le frequenze assolute presenti nella tabella, troveremo la numerosità
della popolazione:
Dalle frequenze assolute
si ottengono le frequenze relative
calcolando
Y X | ![{\displaystyle y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4db76d658a98219aca14df06d9869d2b43c42) | ![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle y_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8df4e372390588acb968986cfc388e50b930b3a) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle y_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2ab0248723a410cc2c67ce06ad5c043dcbb933) | Totale |
| ![{\displaystyle f_{1,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152b68825337a47aafb4f26da009a7dcdc30ca36) | ![{\displaystyle f_{1,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81785617c039d19176598e4e3844a31ff02b3ae) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{1,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac0e87a33b90fe96102142064576d72876ec855) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{1,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31658901b859b6e6bae74f97a3594394562c238) | |
| ![{\displaystyle f_{2,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f63a4884fde38356c594980ad68fcad2594f4d35) | ![{\displaystyle f_{2,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2338f73428c4da9069fc012ef50149b4a6565d0) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{2,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affd4d9146883368952d5242aa48d9ad8ffddf1e) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{2,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8022b7734b69179dc0a655853546036c33be710c) | |
| ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \ddots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f719d9487a2b0e82b38b52421987fedd9de1d4e3) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | |
| ![{\displaystyle f_{i,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee00c12712dfe4cc16ec087300391b51ff02b9d) | ![{\displaystyle f_{i,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbdb4c70b7c8c6845c8670bf5e07aed927a582d) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{i,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56b8627bafaca53146323e7e5a054a922015b70) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{i,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371474b82d138e59ee69485b53720ba002b39346) | |
| ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle \ddots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f719d9487a2b0e82b38b52421987fedd9de1d4e3) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | |
| ![{\displaystyle f_{h,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260e5d10dda5471669beea56f7d270adc4274815) | ![{\displaystyle f_{h,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2e5f473f9ee5f0a304c5f421daeefcbbd73ee0) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{h,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85bd6363e9e6831fac7a7d8e01b5f22d90514ed1) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{h,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e92c3367ae792ce53161a9f2d08301d62b32291) | |
Totale | ![{\displaystyle f_{\cdot ,1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de544a010d5f2b7b9036ee9f0bb4dcf8dbdc035a) | ![{\displaystyle f_{\cdot ,2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707741fbcf49ad9f7f74bab284ad2312e41ddab3) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{\cdot ,j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e5eab3893ce1d2d4a5dcaf3ca5e93dc6483f78) | ![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4) | ![{\displaystyle f_{\cdot ,k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c611bef4b986162482fbd85dca8b257fd6087f17) | |
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