Disambiguazione – Se stai cercando i teoremi sulla relazione tra integrali di volume e di superficie per mezzo dell'operatore di Laplace, vedi Identità di Green. In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.
Enunciato
Sia
una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva
orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni
appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di
) regolare a tratti, e sia
la superficie di cui è frontiera. Se
e
sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene
, allora:[1]
![{\displaystyle \int _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )=\iint _{S}\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} x} \mathop {\mathrm {d} y} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b58b16f470880fa0b5ccf6bfe27aaccd5ed5af0)
Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:
![{\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc16e3946b720acfc05828434e8ecced0ee4b9ca)
Interpretazione
Se si considera un campo vettoriale
su
definito da:
![{\displaystyle \mathbf {F} (x,y):=(f(x,y),g(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b4d1d92804aa58dfd3199533269e72f269d916)
la quantità:
![{\displaystyle \oint _{\partial S}(f\mathop {\mathrm {d} x} +g\mathop {\mathrm {d} y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc16e3946b720acfc05828434e8ecced0ee4b9ca)
rappresenta l'integrale di
, dove
è la normale esterna alla curva
in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo
lungo la curva
.
D'altra parte l'espressione:
![{\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5fc3ef7bf4e4f249a1736cc9a75198d11d43415)
è il modulo del rotore di
. Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme
del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie
, e dunque:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee272d6fee45d695d57eef7a32a5b5f92665e298)
Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di
.
Dimostrazione per superficie semplice
Lo stesso argomento in dettaglio: Dominio semplice. Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:
![{\displaystyle \int _{\partial S}f\mathop {} \!\mathrm {d} x=-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {} \!\mathrm {d} s\qquad \int _{\partial S}g\mathop {} \!\mathrm {d} y=\iint _{S}{\frac {\partial g}{\partial x}}\mathop {} \!\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5200b0cc35dd69c8b7c9dd0673204b8e95c627dc)
Se si esprime
come la regione:
![{\displaystyle S:=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccd42de2b38f088159a509585d18d93a8625fc7b)
dove
e
sono funzioni continue, si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{S}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathop {} \!\mathrm {d} s&=\int _{a}^{b}\!\!\int _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\mathop {\mathrm {d} y} \mathop {\mathrm {d} x} \right)\\&=\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))-f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bd766c5c5766fe88f4297503eb02407ac7d4c3)
Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Spezzando il bordo
di
nell'unione delle quattro curve
,
,
e
, si verifica che:
- Per
valgono le equazioni parametriche
,
,
, e quindi si ottiene:
.
- Per
si usano le equazioni parametriche
,
,
, e si ottiene:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} &=-\int _{-\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edaf373784ae9978cfc023112078e3c7b18d3a14)
- Per
e
la variabile
è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:
![{\displaystyle \int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689da086af03a3cdc4d22f084aaccd301bf08eba)
e quindi:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial S}f\mathop {\mathrm {d} x} &=\int _{\partial S_{1}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{2}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{3}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{\partial S_{4}}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} \\&=-\int _{a}^{b}f(x,g_{2}(x))\mathop {\mathrm {d} x} +\int _{a}^{b}f(x,g_{1}(x))\mathop {\mathrm {d} x} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa8105f313d74435e7f4a832ad154293e2f09e1)
Sommando questa con l'integrale doppio della prima relazione definito in precedenza si ottiene:
![{\displaystyle \int _{\partial S}f(x,y)\mathop {\mathrm {d} x} =-\iint _{S}{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathop {\mathrm {d} s} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29a9136ec7984e608210c8d1ffb8b55e3fcbd4a)
e la seconda relazione si dimostra in modo analogo.
Relazione con il teorema di Stokes
Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Stokes. Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano x-y. Si ponga di avere un campo vettoriale
in tre dimensioni la cui componente z sia sempre nulla, ovvero
. Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}(L\mathop {\mathrm {d} x} +M\mathop {\mathrm {d} y} )&=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (\mathop {\mathrm {d} x} ,\mathop {\mathrm {d} y} ,\mathop {\mathrm {d} z} )\\&=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9ad42733467e25feffb05eedd675e6ed9d5c20)
e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):
![{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathop {\mathrm {d} \mathbf {r} } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c082800ea6ca9e7e47aed19f69dd2798b09b7482)
dove la superficie
è la regione nel piano e
è il versore normale in direzione z. L'integrando diventa:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} &=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} \\&=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd56b09b191f301dc76abdb27a88d12dce6e8e60)
sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:
![{\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2848a0b33b1412986730ce3ca4975270ea763e4)
Relazione con il teorema della divergenza
Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:
![{\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adb190898ecf38264d4892dea2bbb44edd36169)
dove
è il versore normale uscente alla frontiera
di
. Infatti, dal momento che nel teorema di Green
è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva
è orientata in senso antiorario, il vettore normale
è il vettore
. La sua lunghezza è
, e quindi
. Detto
, il membro alla destra diventa:
![{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \mathop {\mathrm {d} s} =\oint _{C}P\mathop {\mathrm {d} y} -Q\mathop {\mathrm {d} x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31beb27deb67ce12a5e0000bef9a4a2aa3e762de)
che con il teorema di Green assume la forma:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}-Q\mathop {\mathrm {d} x} +P\mathop {\mathrm {d} y} &=\iint _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)\mathop {\mathrm {d} A} \\&=\iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathop {\mathrm {d} A} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aca34041f3e8a2ae3300b2552617163007e5876)
L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.
Note
Bibliografia
- Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
Voci correlate
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