Varietà affine

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In geometria algebrica, una varietà affine è il sottoinsieme di uno spazio affine ${\displaystyle n}$-dimensionale su un campo algebricamente chiuso ${\displaystyle k}$ caratterizzato dall'annullarsi simultaneo di tutti i polinomi di un sottoinsieme di ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Un aperto (secondo la topologia di Zariski) di una varietà affine è detto varietà quasi affine.

Una funzione regolare per una varietà affine ${\displaystyle X}$ è una funzione ${\displaystyle f\colon X\to k}$ tale che per ogni punto ${\displaystyle P\in X}$ esiste un intorno del punto in cui ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$, dove ${\displaystyle g,h\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. L'insieme di tutte le funzioni regolari su ${\displaystyle X}$ è l'anello ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$.

Un morfismo tra due varietà è una funzione ${\displaystyle \phi \colon X\to Y}$ che induce un morfismo di anelli ${\displaystyle \phi ^{\star }\colon {\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)\colon f\mapsto f\circ \phi }$.

Dato un insieme qualsiasi di polinomi, la varietà affine che definiscono è la stessa definita dall'ideale ${\displaystyle I(X)}$ generato da questi polinomi. Si può quindi definire l'algebra affine di una varietà affine ${\displaystyle X}$ come la ${\displaystyle k}$-algebra finitamente generata ${\displaystyle A(X)=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)}$.

Si dimostra che due varietà affini sono isomorfe se e solo se le loro algebre affini sono isomorfe. Inoltre se si associa ad ogni varietà affine la propria algebra e ad ogni morfismo ${\displaystyle \phi }$ il morfismo ${\displaystyle \phi ^{\star }}$, si ottiene un funtore controvariante tra la categoria delle varietà affini e quella delle ${\displaystyle k}$-algebre finitamente generate.

• Per la noetherianità dell'anello dei polinomi, ci si può ridurre a considerare un numero finito di polinomi.
• Per definizione, una varietà affine è chiusa secondo la topologia di Zariski, ma in quanto intersezione finita di luoghi di zeri, è chiusa anche per la topologia standard se ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ o ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$.
• Le varietà affini formano una categoria sia con i morfismi di varietà, sia con le mappe razionali.

• Varietà proiettiva

• (EN) Eric W. Weisstein, Varietà affine, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Varietà affine, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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