で与えられる。これは a の始点を通り b に平行な直線への正射影ベクトルであり、a の b(の上)への(ベクトル)射影 (vector projection) とも呼ばれ、その「符号付き」大きさ|a|cos θ = a⋅ˆb はしばしば b へのスカラー射影 (scalar projection) とも呼ばれる。大きさの「符号」は射影 a∥b と b の向き(プラスならば同方向、マイナスならば逆方向)を表している。
a の b の法方向の成分ベクトル a2 = a⊥b はしばしば a の b からの(ベクトル)反射影 (vector rejection from b)[1] と呼ばれ、b に直交する平面(一般には超平面)(の上)への a の正射影ベクトルとして与えられる。a = a∥b + a⊥b に注意すれば、反射影ベクトルは
と書ける。
性質
スカラー射影
詳細は「スカラー射影(英語版)」を参照
a の b へのスカラー射影 a1 ≔ a⋅ˆb は a と b の成す角 θ が π/2 < θ ≤ π のときは負符号を持つ。成す角が π/2 より小さいときにはベクトル射影の大きさ |a∥b| に一致する。まとめると
a1 = |a∥b| (0 ≤ θ ≤ π/2 のとき);
a1 = −|a∥b| (π/2 < θ ≤ π のとき).
ベクトル射影
a の b への射影ベクトル a∥b は零ベクトルであるかさもなくば b に平行である。
a∥b = 0 (θ = 90° のとき);
a∥b は b と同方向 (0° ≤ θ < 90° のとき);
a∥b と b は逆方向 (90° < θ ≤ 180° のとき).
ベクトル反射影
a の b からの反射影 a⊥b は零ベクトルであるかさもなくば b に直交する。
a⊥b = 0 (θ = 0°, 180° のとき);
a⊥b は b に垂直 (0° < θ < 180° のとき).
行列表現
適当なベクトル方向への射影は射影行列として表現することができる。単位ベクトル a ≔ (ax, ay, az) への射影は行列
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Component of a vector”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Component_of_a_vector