第1種ベータ分布 確率密度関数 ![ベータ分布の確率密度関数](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Beta_distribution_pdf.svg/325px-Beta_distribution_pdf.svg.png) |
累積分布関数 ![ベータ分布の累積分布関数](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Beta_distribution_cdf.svg/325px-Beta_distribution_cdf.svg.png) |
母数 | 形状母数 (実数)
形状母数 (実数) |
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台 | ![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d) |
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確率密度関数 | ![{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfecfa61528a1a1bd7db88223f208a62b7b53c2) (B はベータ関数) |
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累積分布関数 | ![{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663054c3f3dc36c0c8c445386d9e52aea7e26b07)
は正則化された不完全ベータ関数 |
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期待値 | ![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64edc7514f5611e9e4650f3584152ab3ac0bb811)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f451e381db241e3b1ec2cc9ba84c2ebf27e93) (ψはディガンマ関数) |
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中央値 | ![{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b381a21ec9a3f9cf9d2d01ecb7dd88335585bb) |
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最頻値 | for ![{\displaystyle \alpha ,\beta >1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3f33fc553c096bb6e12987a13ab58edef863b6) |
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分散 | ![{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2367c268f610193119758414345f42b6958e0c)
![{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e396e8700267735eb741f73e8906445579c43bc6) (ψ1 はトリガンマ関数) |
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歪度 | ![{\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4c16589965af50e123dbb8e6fdd26e9a65afa1) |
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尖度 | ![{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e) |
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エントロピー | ![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d94a9ba1c14cb9ae9724009a384d173d0ae31d) |
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モーメント母関数 | ![{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97b0e33f3134c2fc5c484016ab8e03e18d85481) |
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特性関数 | (Confluent hypergeometric functionを参照) |
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テンプレートを表示 |
ベータ分布(ベータぶんぷ、英: beta distribution)は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。
第1種ベータ分布
第1種ベータ分布(英: beta distribution of the first kind)の確率密度関数は以下で定義される。
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde3e89546e71dddffa82dc29b1d410afaf7ce03)
ここで B(α, β) はベータ関数であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ α, β はともに正の実数である。期待値は α/α + β、分散は
である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
![{\displaystyle f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8123dadb6f736d3922b4b27ca12d617473c5755)
ただし
である。
累積分布関数
累積分布関数は、以下の式で与えられる。
![{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d96047cdd24d86057cfcfaf73dd3d220d9442e)
ここで、
は、不完全ベータ関数であり、
は、正則化不完全ベータ関数である。
他の分布との関係
のとき逆正弦分布(英語版)になる。
のとき一様分布になる。
第2種ベータ分布
一般化ベータ分布
a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布(英: generalized beta distribution)という。
![{\displaystyle GB(x;a,b,c,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(1-c)(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+c(x/b)^{a})^{p+q}}}\quad \quad {\text{ for }}0<x^{a}<{\frac {b^{a}}{1-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f75c8f23b1ad559beb1ebe1bd9465d54e479058)
一般化第1種ベータ分布
c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布(英: generalized beta of first kind)という。
![{\displaystyle GB1(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=0,p,q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe29e0d0ccbfd4b90fa534182b35da576ee6b689)
![{\displaystyle GB1(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}(1-(x/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07df184cbc25481fe1f7ab7f46b5bc1152dc80fb)
一般化第2種ベータ分布
c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布(英: generalized beta of second kind)という。台は
。
![{\displaystyle GB2(x;a,b,p,q)=GB(x;a,b,c=1,p,q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1d6916f1863e4662d7821cab73c3f26e3418c9)
![{\displaystyle GB2(x;a,b,p,q)={\frac {|a|x^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(x/b)^{a})^{p+q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e88fff0785988f45de007c943175c6bc7bc1a29)
参考文献
- 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
- B. S. Everitt(清水良一訳)、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).
関連項目
外部リンク
- GSL reference manual Japanese version