ボホナー積分

数学におけるボホナー積分（ボホナーせきぶん、英: Bochner integral）は、サロモン・ボホナーに名を因む、（単函数の積分の極限としての）ルベーグ積分のバナッハ空間に値をとる函数への拡張である。

定義

(X, Σ, μ) を測度空間、B をバナッハ空間とする。ボホナー積分はルベーグ積分とほとんど同じ方法で定義される。X 上の B-値単函数 s は、完全加法族 Σ の互いに交わらない元の族 E_i と B の相異なる元 b_i を使って

${\displaystyle s(x)=\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}}$

なる形の和に表される。ただし、χ_E は集合 E の指示函数である。単函数 s をこの形に書くとき, b_i が 0 でないような i では必ず μ(E_i) が有限値となるならば、この単函数 s は可積分であるといい、その積分を

${\displaystyle \int _{X}\left[\sum _{i=1}^{n}\chi _{E_{i}}(x)b_{i}\right]\,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (E_{i})b_{i}}$

で定義することは通常のルベーグ積分と全く同じである。

可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単函数列 s_n で

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\|f-s_{n}\|_{B}d\mu =0}$

を満たすようなものが存在するときに言う。ここで左辺の積分は通常のルベーグ積分である。

このとき、ボホナー積分は

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\,d\mu }$

と定義される。可測函数がボホナー可積分であるための必要十分条件は、それがボホナー空間 L¹ に属することである。

性質

ルベーグ積分についてよく知られた性質の多くは、ボホナー積分に対しても引き続き成立する。おそらく最も著しい例はボホナーの可積分判定条件で、これは (X, Σ, μ) が有限測度空間ならばボホナー可測函数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるための必要十分条件が

${\displaystyle \int _{X}\|f\|_{B}\,d\mu <\infty }$

であることを述べるものである。ただし、函数 ƒ: X → B がボホナー可測であるとは、B の可分部分空間 B₀ に値をとる函数 g で、B の任意の開集合 U の逆像 g⁻¹(U) が Σ に属するようなものを用いて、μ に関してほとんど至る所 f = g となるときにいう。つまり、ボホナー可測函数 ƒ は μ に関して殆ど至る所単函数列の極限になっている。

ボホナー積分に対しても優収斂定理の一種が成り立つ。具体的には、ƒ_n: X → B が完備測度空間上の可測函数列でほとんど至る所 ƒ に収斂し、ほとんど全ての x ∈ X で ‖f_n(x)‖_B ≤ g(x) を満たす g ∈ L¹(μ)が存在するならば、n → ∞ とする極限で

${\displaystyle \int _{X}\|f-f_{n}\|_{B}\,d\mu \to 0}$

および、任意の E ∈ Σ に対して

${\displaystyle \int _{E}f_{n}\,d\mu \to \int _{E}f\,d\mu }$

が成立する。

ƒ がボホナー可積分ならば不等式

${\displaystyle \left\|\int _{E}f\,d\mu \right\|_{B}\leq \int _{E}\|f\|_{B}\,d\mu }$

が任意の E ∈ Σ に対して成立する。特に集合函数

${\displaystyle E\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

は μ に関して絶対連続な X 上の可算加法的 B-値ベクトル測度を定める。

ラドン–ニコディム性

ボホナー積分に関してラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないという重要な事実がある。これはバナッハ空間のラドン–ニコディム性として知られる重要な性質である。具体的に、μ を可測空間 (X, Σ) 上の測度とすると、B が μ に関するラドン–ニコディム性を持つとは、(X, Σ) 上の B に値をとる任意の有界変動かつ μ-絶対連続な可算加法的ベクトル測度 γ に対して、μ-可積分函数 g: X → B で ${\displaystyle \gamma (E)=\int _{E}g\,d\mu }$ を任意の可測集合 E ∈ Σ に対して満たすものが存在することをいう^[1]。

バナッハ空間 B がラドン–ニコディム性を持つとは、B が任意の有限測度に関してラドン–ニコディム性を持つときに言う。l₁ はラドン–ニコディム性を持ち、c₀ や Rⁿ の有界開領域 Ω に対する L^∞(Ω), L¹(Ω) および C(Ω) はラドン＝ニコディム性を持たないことが知られている。ラドン–ニコディム性を持つ空間には、可分な双対空間（ダンフォード–ペティスの定理）や回帰的バナッハ空間（特にヒルベルト空間）などがある。

関連項目

• ボホナー空間
• ペティス積分
• ベクトル測度

脚注

参考文献

• Bochner, Salomon (1933), “Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind”, Fundamenta Mathematicae 20: 262–276, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm20/fm20127.pdf 
• Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5 
• Diestel, J.; Uhl, J. J. (1977), Vector measures, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1515-1 
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1957), Functional Analysis and Semi-Groups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1031-6 
• Lang, Serge (1969), Real analysis, Addison-wesley, ISBN 0-201-04172-3  (now published by springer Verlag)
• Sobolev, V. I. (2001), “Bochner integral”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bochner_integral 
• van Dulst, D. (2001), “Vector measures”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Vector_measure 

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
カテゴリ