にユークリッド計量によって誘起される自然位相幾何学である。
数学、特に一般的な位相幾何学において、ユークリッド位相(ユークリッドいそう、Euclidean topology)は
-次元ユークリッド空間
上で定義されるユークリッド距離から誘導される自然な位相である。
定義
上のユークリッドノルムは非負の値を取る関数
で以下のように定義される:
![{\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cec5a34bafac6e8c35e1b9d42080919e86e0cb)
他の
ノルム同様、 ユークリッドノルムから距離が
![{\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21a92e5e3fea975710103251cc18bd3653952de)
で定義される
距離空間が生成される。
ユークリッドノルムから生成される距離
![{\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/955fade979e445aa26cfc6b71c6585eed6d5a446)
は
ユークリッド距離と呼ばれる。そして二点
![{\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad64ea76dcf24779f1a1330e10b592f781ccd24)
と
![{\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b4d6eb7b36a9b98e54dbf367671eddf293e6c3)
は:
![{\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e15fa2005fa8ce9562a7cc79836271c802fdd6)
任意の
距離空間において、
開球がその空間上の位相の基底を形成する。
[1] ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
上のユークリッド位相はこれらの球から
生成される。 すなわち、
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
上のユークリッド位相の開集合は(任意の)開球
![{\displaystyle B_{r}(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38142f107d23ceee9c99f650ab067fcbf2c28ac8)
の和集合で与えられる。ここで
![{\displaystyle B_{r}(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38142f107d23ceee9c99f650ab067fcbf2c28ac8)
は、
(
はユークリッド距離)で定義される。
性質
この位相が与えられたとき、 実数直線
はT5 空間である。
を満たす
の部分集合
,
が与えられたとき(ここで
は
の閉包)、開集合
,
が存在して、
,
,
となる。[2]
関連項目
参考文献
- ^ 距離空間#距離の誘導する位相
- ^ Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 0-486-68735-X