ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

ランダー・パーキン・セルフリッジ予想（ランダー・パーキン・セルフリッジよそう）とは、同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、k乗数の和がk乗数の和と等しい場合、項の数は少なくともk個であるという予想である。フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。

背景

a² + b² = c² の整数解を求めるディオファントス方程式は、ピタゴラスの定理以来何世紀も研究されてきた。この方程式を拡張し、フェルマーはフェルマーの最終定理として「2より大きい整数 k に対し、 a^k + b^k = c^k は整数解(a, b, c)を持たない」と書き記した。オイラーは項の数と次数を拡張し、整数nとkが1より大きい場合、n個のk乗数の和がk乗数であれば、nは少なくともk以上であると予想した。

式で表すと 1より大きい nと、自然数 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b$ に対して $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$ が成立する場合、n ≥ k である。

1966年には、k = 5でのオイラー予想の反例がLeon J. Lander と Thomas R. Parkin によって示された^[1]。

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

その後、以下に示す k = 4 を含む多くの反例が見つかった。さらに次式は、より狭いオイラーの四次の予想「a⁴ + b⁴ + c⁴ = d⁴ は整数解を持たない」を反証した。

414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ = 422481⁴.

予想の内容

1967年にL. J. Lander、T. R. Parkin、John Selfridgeの3人が提唱した予想^[2]は、

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ が自然数 a_i ≠ b_j （ 1 ≤ i ≤ n 、1 ≤ j ≤ m）に対して成立する時、 m+n ≥ kとなる。」である。この同じ次数の等式は、 (k, m, n)と略記される。

m = n = k/2 である比較的小さな例には、

59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}

や

3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}

（1934年にK. Subba Rao が発見）がある（一般化タクシー数も参照）。

この予想は m = 1 と言う特殊な場合において、

\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}

が成立するならば、n ≥ k−1であることを示す。

m = 1 と言う特殊な場合においても、 1つ制約を緩めた n ≤ k に対してはいくつも解が知られている。例えば、^[3]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴　(Roger Frye, 1988)

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴　(R. Norrie, 1911。最小の解)

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵　(Lander, Parkin, 1966)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵　 (Sastry, 1934, 3番目に小さい解である)

k = 6

未発見(2002年に、730000までには解がないことが示された^[4]。)

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷　(M. Dodrill, 1999)

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸　 (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

未発見

予想の現状

この予想が真であるか、また k ≥ 5 に対して a^k + b^k = c^k + d^k が成立しうるかはどちらも未解決である。

参考文献

^ L. J. Lander; T. R. Parkin (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72: 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
^ L. J. Lander; T. R. Parkin; J. L. Selfridge (1967). “A Survey of Equal Sums of Like Powers”. Mathematics of Computation 21 (99): 446–459. doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR 2003249.
^ Quoted in Meyrignac, Jean-Charles (2001年2月14日). “Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions”. 2017年7月17日閲覧。
^ Giovanni Resta and Jean-Charles Meyrignac (2002). The Smallest Solutions to the Diophantine Equation $a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}$ , Mathematics of Computation, v. 72, p. 1054 (See further work section).

Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Problem Books in Mathematics (3rd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. p. D1. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001