交項級数

数学、とくに解析学における交項級数（こうこうきゅうすう）または交代級数（こうたいきゅうすう、英: alternating series）とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数

a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\quad ({\text{for }}\forall n,\ a_{n}\geq 0.\quad [{\text{resp. }}a_{n}\leq 0.])

である。同様の有限級数をしばしば交代和 (alternating sum) と呼ぶ。

例と基本的な事実

交代級数

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}

は ln 2（=0.69314…）に収束することが知られているが、いっぽう各項の絶対値をとった級数

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}

は調和級数としてよく知られた発散級数である。これは絶対収束が、級数が収束するための十分条件だが必要条件ではない（別な言い方をすれば、絶対収束は収束条件としては強すぎる）ことの例でもある。

実数項をもつ交代級数に対しては、収束判定法としてライプニッツによる「数列 {a_n} が単調減少で 0 に収束するならば級数 ∑ (−1)ⁿa_n は収束する」というものがある（項が単調増大の場合も全体に −1 を掛けることにより単調減少の場合に帰着されるので、この場合も合わせて簡単に「数列 {a_n} が単調に 0 に収束する」ときと述べることもできる）。実際、交代級数

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}|a_{n}|

の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、すなわち

|a_{0}|\geq |a_{1}|\geq |a_{2}|\geq \cdots \to 0

を満たすとき、部分和

s_{N}:=\sum _{k=0}^{N}a_{k}

の列 {s_N} はコーシー列を成すことが確認できる。特に部分和の二つの部分列 {s_2n}, {s_2m−1} は有界な単調列ゆえにそれぞれ有限な値に収束するが

\lim _{n\to \infty }s_{2n}-\lim _{m\to \infty }s_{2m-1}=\lim _{n\to \infty }(s_{2n}-s_{2n-1})=\lim _{n\to \infty }a_{2n}=0

となり共通の極限値 S をもつので、それが求める和である。またこのとき、部分和 s_N と級数の和 S との誤差は

|S-s_{N}|=|a_{N+1}-(a_{N+2}-a_{N+3})-(a_{N+4}-a_{N+5})-\cdots |\leq |a_{N+1}|

と評価することができる。

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Alternating Series". mathworld.wolfram.com (英語).

級数・数列

等差数列

発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 無限算術級数

等比数列

収束級数	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
発散級数	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ グランディ級数

整数列

その他の数列

発散級数	1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ 調和級数
収束級数	交項級数幾何級数超幾何級数 q超幾何級数ライプニッツの公式