伝達関数法(でんたつかんすうほう)とは、複素関数論(ラプラス変換など)を用いた制御系の解析法である。
伝達関数
伝達関数 (transfer function) とはシステムへの入力を出力に変換する関数のことをいう。伝達関数は、すべての初期値を 0 とおいたときの、制御系の出力と入力のラプラス変換(または Z 変換)の比で表される。すなわち、連続システムのとき、出力信号 y(t) のラプラス変換を Y(s)、入力信号 x(t) のラプラス変換を X(s) とすれば、伝達関数 G(s) は
と表される。
離散システムに対して、伝達関数は Z 変換によって、
と表される。
この伝達関数法では、時間領域の関数を、ラプラス変換(または Z 変換)によって複素平面に写像を取り、さらに周波数領域に変換することにより、系の特性や安定性を解析するのに用いる。ただし、対象となる系が 1 入力 1 出力(線形関数)に限られているため、複雑な系(多入力多出力、非線形)の解析には状態空間法を用いる。しかしながら、この伝達関数法は、今日の制御理論においても基礎となる重要な理論である。
周波数伝達関数
s を jω とすると、周波数伝達関数 (frequency transfer function) は G(jω) と表される。 周波数伝達関数は複素数であるため、次のように表される。
この式の特性を見るためにナイキスト線図、ボード線図、ニコルス線図がある。
周波数伝達関数の絶対値 |G(jω)| を利得といい、偏角
を位相(位相角)という。
各種要素の伝達関数
- 積分要素
![{\displaystyle G(s)={\frac {k}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e56881a916826fd6fe5f07bd57935bb07905112b)
- 1次遅れ要素
![{\displaystyle G(s)={\frac {K}{Ts+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8946639976faa44d948222d0e5fe8fc3e90bec50)
- 微分要素
![{\displaystyle G(s)=Ts}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8d8230aa7c3d7843a4d182dc6c2abfd707432b)
- むだ時間要素
(通信遅延等)(解析が困難) - 2次遅れ要素
![{\displaystyle G(s)={\frac {K}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ab3a7a1d9989daf08c899af16b35ddd53cb0c2)
![{\displaystyle G(s)={\frac {K}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}{}^{2}}}\quad (\zeta <1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba06264d91a2c0858e6d4738fc345945a2a1bb3)
![{\displaystyle G(s)={\frac {K}{s(Ts+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14311a9b154edf90942a964663dd9d1aedc977d6)
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