確率測度

確率論
コルモゴロフの公理
確率空間 標本空間 根元事象 事象 確率変数 確率測度
排反 同時分布 周辺分布 条件付き確率
独立 条件付き独立 全確率の法則 大数の法則 ベイズの定理 ブールの不等式
ベン図 樹形図
表 話 編 歴

確率論における確率測度（かくりつそくど、英: probability measure）は、標本空間に事象となる完全加法族が与えられたとき、事象の確率を測る測度のことである。一般の測度の公理（完全加法性など）に加えて、標本空間の測度は 1 であることが公理に加わる^[3]。

確率測度は、アンドレイ・コルモゴロフが『確率論の基礎概念』（1933年）^[4]で確率を公理的確率へと拡張する上で導入された。

確率を「事象の測度」ととらえることにより、確率を公理的立場から決定し、非等確率空間における理論的確率も求められるようになった。

確率測度は物理学からファイナンスや生物学まで様々な分野において応用されている。

導出の必然性

根元事象が無数にある場合は確率をラプラスの古典的確率で定義することができない。また、アンドレイ・コルモゴロフは自身が見出した定理（コルモゴロフの拡張定理）により、確率を無限次元に対して拡張できる必要十分条件として、確率関数がσ-加法性を満たすことを見出し、測度としての公理的確率を提唱した。

定義

函数 μ が事象空間上の確率測度であるためには、以下の2つの条件が満たされなければならない。

• μ は、単位区間 [0, 1] 上の値を返し、空集合に対しては0を返し全空間では1を返す関数である。
• 互いに素な高々可算個の可測集合列 {E_n} に対し、

${\displaystyle \mu {\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }E_{n}{\Bigr )}=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\mu (E_{n})}$

を満たす（完全加法性、英: countable additivity）。

例えば、確率変数 X が 1, 2, 3 を取る確率がそれぞれ 1/4, 1/4, 1/2 であるとすると、X = 1 or 3 である確率は 1/4 + 1/2 である。

事象の共通部分に基づく条件付き確率は以下のように定義される。

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}.}$

このような条件付き確率は、P(A) が 0 でない限り、確率測度である^[5]。

より一般的なファジー測度（英語版）は確率測度とは異なるものになっている。ファジー測度では、ファジー値を足し上げた時に 1 とはならないかもしれない。そして、加法性は集合の包含関係に基いた順序関係に置き換えられる。

応用例

実際の金融の動きに基づいた金融市場の空間へ確率を割り当てたマーケット測度 (英: Market measures) は、確率測度の例である。この例は、デリバティブの価格付けなどの、数理ファイナンスにおいて関心が高い^[6]。例えば、リスク中立測度は、金融資産の将来のペイオフを利子率で割り引いた値の、リスク中立測度に基づいた（つまり、対応するリスク中立密度関数を使い計算された）期待値が、その資産の現在価格となるような確率測度である。このようなリスク中立測度が一意に存在する場合、そのような金融市場を完備市場（英語版）と呼ぶ^[7][8]。

直観的な意味でチャンスや可能性を表す測度の全てが確率測度であるとは言えない。例えば、統計力学の系の基本的な考え方は測度空間ではあるが、測度がいつも確率測度であるわけではない^[1]。一般に、統計物理学では、もし「状態 A であるような系 S の確率は p である」という形の文章を考えたならば、自由度が1つの系の場合には確率測度が定義できるように思えるが、系の幾何学が合同関係 (congruence) の下での確率測度を常に定義するわけではない^[2]。

確率測度は、数理生物学でも使われる^[9]。例えば、比較配列分析（英語版）(sequence analysis)において、確率測度は配列の中にアミノ酸がある可能性によって定義されることもある^[10]。

参照項目

• ボレル測度
• ファジー測度（英語版）(Fuzzy measure)
• ハール測度
• リスク中立測度

参考文献

さらに先の文献

• Probability and Measure by Patrick Billingsley, 1995 John Wiley ISBN 978-0-471-00710-4
• Probability & Measure Theory by Robert B. Ash, Catherine A. Doléans-Dade 1999 Academic Press ISBN 0-12-065202-1

表 話 編 歴 確率論
確率の歴史	アンドレイ・コルモゴロフ トーマス・ベイズ アンドレイ・マルコフ ジョゼフ・L・ドゥーブ 伊藤清
確率の定義	客観確率 統計的確率 古典的確率 公理的確率 主観確率 ベイズ確率 確率の拡張 外確率 負の確率
基礎概念	モデル 試行 結果 事象 標本空間 確率測度 確率空間 確率変数 確率変数の収束 確率分布 離散確率分布 連続確率分布 同時分布 周辺分布 条件付き確率分布 独立同分布 関数 確率質量関数 確率密度関数 累積分布関数 特性関数 用語 独立 期待値 モーメント 条件付き確率 条件付き期待値
確率の解釈	ベルトランの逆説 3囚人問題 モンティ・ホール問題 サンクトペテルブルクのパラドックス 合接の誤謬 ギャンブラーの誤謬
問題	壺問題 クーポンコレクター問題
法則・定理	ベイズの定理 大数の法則 中心極限定理 コルモゴロフの0-1法則 デ・フィネッティの定理 ウィーナー＝ヒンチンの定理
測度論	確率測度の拡張 カラテオドリの拡張定理 E.ホップの拡張定理 コルモゴロフの拡張定理 ヴィタリの収束定理 ルベーグの優収束定理 ラプラス原理 スコロホッドの表現定理
確率微分方程式	伊藤の補題
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