Grandi-reeks

In de wiskunde is de Grandi-reeks de reeks waarvan de termen de afwisselend 1 en −1 zijn, dus met alternerend teken. De formule luidt

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-1+1\cdots }$

De reeks is vernoemd naar de Italiaanse priester, filosoof en wiskundige Luigi Guido Grandi, die de reeks in 1703 besprak. De reeks is niet convergent, want de partiële sommen zijn afwisselend 1 en 0.

Met een naïeve blik zou men aan de volgende uitkomsten kunnen denken:

• ${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)\cdots =0+0+0\cdots =0}$
• ${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)\cdots =1+0+0+0\cdots =1}$

Deze redeneringen zijn echter duidelijk niet geldig en geven ook geen eenduidig resultaat.

Men kan ook anders tegen de som van de reeks aankijken. Met behulp van Cesàro-sommatie, die ook voor bepaalde divergente reeksen een "som" vindt, zou de uitkomst ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ zijn. Deze "uitkomst" kan ook als volgt worden afgeleid:

Stel

${\displaystyle S=1-1+1-1+1\ldots ,}$

dan geldt

${\displaystyle 1-S=1-(1-1+1-1\ldots )=1-1+1-1+1\ldots =S.}$

Dit geeft de vergelijking

${\displaystyle S=1-S,}$

die zich eenvoudig laat oplossen naar ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}}$.