Tensoralgebra

In de abstracte algebra, een onderdeel van de wiskunde, is de tensoralgebra (synoniem: vrije algebra) een wiskundige structuur die een gegeven vectorruimte zodanig uitbreidt, dat de resulterende verzameling gesloten is onder het tensorproduct.

Definitie

Zij ${\displaystyle V}$ een vectorruimte over een lichaam/veld ${\displaystyle K}$. De tensoralgebra over ${\displaystyle V}$ is de vectorruimte over ${\displaystyle K}$ gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }\bigotimes _{k=0}^{n}V=\bigoplus _{n=0}^{\infty }V^{\otimes n}}$

waarin ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ het ${\displaystyle n}$-voudige tensorproduct van ${\displaystyle V}$ met zichzelf is (in het bijzonder is ${\displaystyle V^{\otimes 0}}$ gelijk aan ${\displaystyle K}$ zelf, opgevat als vectorruimte over ${\displaystyle K}$). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

${\displaystyle \otimes :T(V)\times T(V)\to T(V)}$

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij ${\displaystyle K}$ slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en ${\displaystyle V}$ een ${\displaystyle K}$-moduul.

${\displaystyle T(V)}$ is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring ${\displaystyle K}$ een eenheidselement heeft (dus zeker als ${\displaystyle K}$ een lichaam is), dan heeft ${\displaystyle T(V)}$ een eenheidselement.

Verwante begrippen

De uitwendige algebra over ${\displaystyle V}$ is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van ${\displaystyle V}$ met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van ${\displaystyle T(V)}$ over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm ${\displaystyle u\otimes v+v\otimes u}$.

De symmetrische algebra over ${\displaystyle V}$ is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van ${\displaystyle V}$ met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van ${\displaystyle T(V)}$ over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm ${\displaystyle u\otimes v-v\otimes u}$.