Stokastisk differensialligning

En stokastisk differensialligning er en differensialligning hvor minst ett av leddene er en stokastisk prosess noe som ofte betraktes som "støy". Dette resulterer i at den stokastiske differensialligningen selv er en stokastisk prosess.

Stokastiske differensialligninger er formulert via sine stokastiske integraler siden den vanligste "støyen" er den Brownske bevegelsen. Denne stokastiske prosessen er ikke-derivebar nesten overalt og differensialet lar seg dermed ikke formulere på noen meningsfull måte. Andre stokastiske prosesser kan også benyttes for å representere støy, blant annet Levy-prosesser eller generelle semimartingaler.

Teorien rundt stokastiske differensialligninger ble utviklet på midten av 1900-tallet og senere blant annet av Kiyoshi Itō, som formulerte Itôs Lemma som er tilsvarende til analysens fundamentalteorem.

Anvendelser

Stokastiske differensialligninger blir mye brukt i blant annet matematisk finans. Fisher Black og Myron Scholes publiserte en artikkel i 1973 hvor de tok utgangspunkt i at aksjers dynamikk kunne beskrives ved den stokastiske differensialligningen

${\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}}$,

hvor ${\displaystyle \alpha ,\sigma \in \mathbb {R} }$ og ${\displaystyle W_{t}}$ er en standard Brownsk bevegelse. Dette har siden blitt omtalt som Black-Scholes-modellen.