Średnia całkowa

Średnia całkowa – średnia wartość funkcji w przedziale będąca uogólnieniem średniej arytmetycznej.

Niech funkcja ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w przedziale ${\displaystyle [a,\ b]}$ i ograniczona ${\displaystyle m\leqslant f(x)\leqslant M.}$

Wówczas średnią całkową funkcji ${\displaystyle f}$ w przedziale ${\displaystyle [a,\ b]}$ definiuje się jako^[1]

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

lub ogólniej

${\displaystyle \mu ={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{\int _{a}^{b}\,dx}},.}$

Opierając się na twierdzeniu o wartości średniej, otrzymuje się ${\displaystyle m\leqslant \mu \leqslant M.}$ Jeśli o funkcji ${\displaystyle f}$ dodatkowo założyć, że jest ciągła, to średnia ${\displaystyle \mu }$ jest osiągana dla pewnego punktu ${\displaystyle \xi \in [a,\ b],}$ tzn. ${\displaystyle \mu =f(\xi ).}$

W przypadku dyskretnym pojęcie średniej całkowej redukuje się do zwykłej średniej arytmetycznej (dyskretnej).

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.