Całka Bochnera

Całka Bochnera – rozszerzenie pojęcia całki oznaczonej o funkcje przybierające wartości w przestrzeni Banacha. Wprowadzona w 1933 roku przez Salomona Bochnera.

Definicja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą, ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ oraz niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha.

• Funkcję ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ nazywamy uogólnioną funkcją prostą, gdy zbiór ${\displaystyle f(\Omega )}$ jest przeliczalny oraz ${\displaystyle f^{-1}(\{x\})\in {\mathcal {A}}}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X.}$
• Funkcję ${\displaystyle f\colon A\to X}$ nazywamy całkowalną w sensie Bochnera, gdy istnieje taki ciąg uogólnionych funkcji prostych ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} ,}$ że

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(\omega )=f(\omega )}$ dla ${\displaystyle \mu }$-p.w. ${\displaystyle \omega \in A,}$
2. ${\displaystyle \int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty ,\,n\in \mathbb {N} ,}$
3. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}\|f_{n}(\omega )-f(\omega )\|\mu (d\omega )=0.}$

Jeżeli ${\displaystyle f\colon A\to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to punkt

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\mu \in X}$

określony wzorem

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\mu =\lim _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}d\mu ,}$

gdzie ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} }$ jest dowolnym ciągiem uogólnionych funkcji prostych o własnościach 2. i 3., nazywamy całką Bochnera funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu .}$

Charakteryzacja klasy funkcji całkowalnych w sensie Bochnera

Niech ${\displaystyle f\colon A\to X.}$ Każde z następujących zdań jest równoważne:

• ${\displaystyle f}$ jest całkowalna w sensie Bochnera.
• ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle \mu }$-mierzalna i spełniony jest warunek 1.
• Istnieje ciąg ${\displaystyle f_{n}\colon A\to X,\,n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mierzalnych uogólnionych funkcji prostych i taki podzbiór ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-mierzalny ${\displaystyle N\subseteq A,}$ że ${\displaystyle \mu (N)=0}$ oraz ciąg ${\displaystyle f_{n}|_{A\setminus N},n\in \mathbb {N} }$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji ${\displaystyle f|_{A\setminus N}}$ i spełnione są warunki 2. i 3.

Własności

Wiele właściwości całki Lebesgue występuje również dla całki Bochnera. Przykładem jest kryterium całkowalności w sensie Bochnera, które mówi, że jeśli ${\displaystyle \mu }$ jest miarą skończoną, to funkcja ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\|f(\omega )\|\mu (d\omega )<\infty .}$

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Bochnera, to jest całkowalna w sensie Pettisa i obie całki są równe.

Bibliografia

• Salomon Bochner. Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vectorraumes sind. „Fundamenta Mathematicae”. 20, s. 262–276, 1933. 
• Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.brak strony w książce
• Joseph Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1.brak strony w książce
• Serge Lang: Real analysis. Addison-wesley, 1969. ISBN 0-201-04172-3.brak strony w książce (now published by springer Verlag)
• V.I. Sobolev: Całka Bochnera. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).brak strony w książce
• D. van Dulst: Vector measures. Michiel Hazewinkel (red.). w: Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2001. ISBN 978-1556080104. (ang.).brak strony w książce