Całka względem miary wektorowej

Całka względem miary wektorowej – rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue’a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle M}$ będzie niepustym zbiorem, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech ${\displaystyle B({\mathfrak {M}})}$ oznacza zbiór wszystkich ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru ${\displaystyle M}$ w ciało skalarów ${\displaystyle K.}$ Dalej, niech ${\displaystyle E}$ będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad ${\displaystyle K}$ oraz ${\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}$ będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj. ${\displaystyle \|\nu \|(M)<\infty .}$

Jeżeli funkcja ${\displaystyle f\colon M\to K}$ jest ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci

${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\mathbf {1} _{A_{j}},}$

gdzie ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}\in K,}$ a zbiory ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{N}\in {\mathfrak {M}}}$ są parami rozłączne i ${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{N}A_{j}=M.}$ Wzór

${\displaystyle T_{\nu }f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\nu (A_{j})}$

określa odzworowanie liniowe przestrzeni

${\displaystyle Y=\{f\in B({\mathfrak {M}})\colon \;\operatorname {card} f(M)<\aleph _{0}\}}$

w przestrzeń ${\displaystyle E.}$ Odwzorowanie to jest ciągłe oraz ${\displaystyle \|T_{\nu }\|=\|\nu \|(M).}$ Podprzestrzeń ${\displaystyle Y}$ jest gęsta, więc odwzorowanie ${\displaystyle T_{\nu }}$ można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni ${\displaystyle B({\mathfrak {M}})}$ w przestrzeń ${\displaystyle E,}$ które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal ${\displaystyle \|T_{\nu }\|=\|\nu \|(M).}$ Jeżeli ${\displaystyle f\in B({\mathfrak {M}}),}$ to zamiast ${\displaystyle T_{\nu }f}$ piszemy też

${\displaystyle \int \limits _{M}fd\nu .}$

Jeżeli ${\displaystyle f\in B({\mathfrak {M}})}$ oraz ${\displaystyle x^{\star }\in E^{\star },}$ to

${\displaystyle x^{\star }\int \limits _{M}fd\nu =\int \limits _{M}fd(x^{\star }\circ \nu ).}$

Jeżeli ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}},}$ a ${\displaystyle f\colon A\to K}$ jest ograniczoną funkcją ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-mierzalną, to

${\displaystyle \int \limits _{A}fd\nu :=\int \limits _{M}f_{0}d\nu ,}$

gdzie ${\displaystyle f_{0}\colon M\to K}$ dana jest wzorem ${\displaystyle f_{0}(x)=f(x),}$ gdy ${\displaystyle x\in A}$ oraz ${\displaystyle f_{0}(x)=0,}$ gdy ${\displaystyle x\in M\setminus A.}$

Jeżeli ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {M}}}$ są rozłączne, a ${\displaystyle f\colon A\cup N\to K}$ jest ograniczoną funkcją ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-mierzalną, to

${\displaystyle \int \limits _{A\cup B}fd\nu =\int \limits _{A}fd\nu +\int \limits _{B}fd\nu .}$

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

Bibliografia

• Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.brak strony w książce
• Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.Sprawdź autora:1.brak strony w książce