Niech
będzie ciągiem grup oraz
– ciągiem homomorfizmów:
![{\displaystyle \ldots \xrightarrow {\varphi _{n-1}} \,G_{n}\,\xrightarrow {\varphi _{n}} \,G_{n+1}\,\xrightarrow {\varphi _{n+1}} \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04554370b8f514cdba5e1fd0bbebb97346297e1)
Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:
[1],
gdzie:
![{\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi _{n}=\{\varphi (g):g\in G_{n}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c75bff32df3fa196efb30fc93afd36172914d2)
![{\displaystyle \ker \,\varphi _{n+1}=\{g\in G_{n+1}:\varphi (g)=e_{n+2}\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbeae4bdd93ecd5121c0d081666b4d709b94eb6)
jest elementem neutralnym grupy ![{\displaystyle G_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4669ef80087fb3afbce5f6d9f7987eb31e865903)
Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań[2].
Kategorie abelowe
Ciąg
![{\displaystyle \ldots \xrightarrow {\alpha _{n-1}} \,A_{n}\,\xrightarrow {\alpha _{n}} \,A_{n+1}\,\xrightarrow {\alpha _{n+1}} \,A_{n+2}\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9eccbd85b7087e7c8ed0b12c0b42c8bb519335)
obiektów kategorii abelowej
i morfizmów
takich że
![{\displaystyle \mathrm {Ker} \,\alpha _{n+1}=\mathrm {Im} \,\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab26f9d35278b9e41adc4866868d8a6d757a1fe1)
jest nazywany ciągiem dokładnym[3].
Przykłady
- Niech
oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:
oznacza, że
jest monomorfizmem, bo
gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy ![{\displaystyle H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef601e1519093ba6c2944b945882c119f990e704)
oznacza, że
jest epimorfizmem, bo ![{\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi =H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5a29653266a4c671d26b0f64e296e54a762841)
oznacza, że
jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.
- Niech grupa
zawiera nietrywialną podgrupę normalną
Wtedy ciąg dokładny
![{\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to G_{1}\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7271822e9ecd88d2a329573f7dc40a8d9788e154)
nazywa się rozszerzeniem grupy
za pomocą grupy
Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy
oraz faktorgrupy
[4].
![{\displaystyle \ldots \leftarrow K_{n-1}\xleftarrow {\partial _{n}} K_{n}\xleftarrow {\partial _{n+1}} K_{n+1}\leftarrow \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a98d949458f7c3c80de078184dd158651e5819a)
jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
spełniona jest równość
![{\displaystyle \ker(\partial _{n})=\operatorname {im} (\partial _{n+1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2fc695bec2be0dbede188867bd69e6ecb93faab)
to znaczy, gdy dla wszystkich
zachodzi równość
Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)[5].
- Dla przekształcenia łańcuchowego
kategorii
kompleksy
stożek
i zawieszenie
ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:
![{\displaystyle 0\to L_{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}Cf_{\bullet }{\xrightarrow {\kappa }}K_{\bullet }^{+}\to 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf993a2171ec67dc88a7966614f44b8a0e39400)
gdzie
i
Zobacz też
Przypisy
- ↑ А.А. Кириллов, op. cit., s. 21.
- ↑ S. Balcerzyk, T. Józefiak, op. cit., s. 23.
- ↑ Математическая энциклопедия, op. cit., s. 410.
- ↑ А.А. Кириллов, op. cit., s. 26.
- ↑ A. Dold (tłum. ros.), op. cit., s. 28.
Bibliografia
- А.А. Кириллов: Теория представлений. Москва: Наука, 1978. Brak numerów stron w książce
- Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. Warszawa: PWN, 1985. ISBN 83-01-04874-3. Brak numerów stron w książce
- Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985. Brak numerów stron w książce
- A. Dold: Lectures on algebraic topology. Berlin–Heidelberg–New York: Springer Verlag, 1972. Brak numerów stron w książce