Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych

Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.

Kryterium

Niech ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty },(b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

• ciąg sum częściowych

${\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)_{n=1}^{\infty }}$

jest ograniczony,

• ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,

to szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

jest zbieżny^[1].

Dowód

Niech ${\displaystyle (s_{n})_{n=1}^{\infty }}$ oznacza ciąg sum częściowych ciągu ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty },}$ tj.

${\displaystyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

Z ograniczności ciągu ${\displaystyle (s_{n})_{n=1}^{\infty }}$ wynika istnienie takiej liczby ${\displaystyle r>0,}$ że dla każdego ${\displaystyle n}$

${\displaystyle |s_{n}|\leqslant r.}$

Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$ zachodzi

${\displaystyle |a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}|=|s_{n+k}-s_{n}|\leqslant |s_{n+k}|+|s_{n}|\leqslant 2r.}$

(1)

Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:

${\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}=(b_{n+1}-b_{n+2})a_{n+1}+(b_{n+2}-b_{n+3})(a_{n+1}+a_{n+2})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k-1})+b_{n+k}(a_{n+1}+\ldots +a_{n+k}).}$

Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając (1) i monotoniczność ciągu ${\displaystyle (b_{n}),}$ dostajemy

${\displaystyle |a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2r((b_{n+1}-b_{n+2})+(b_{n+2}-b_{n+3})+\ldots +(b_{n+k-1}-b_{n+k})+b_{n+k})=2rb_{n+1}.}$

Zatem

${\displaystyle |a_{n+1}b_{n+1}+\ldots +a_{n+k}b_{n+k}|\leqslant 2rb_{n+1}.}$

Niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Na mocy założenia o zbieżności ciągu ${\displaystyle (b_{n})_{n=1}^{\infty }}$ istnieje takie ${\displaystyle n_{0},}$ że dla każdego ${\displaystyle n\geqslant n_{0}}$

${\displaystyle b_{n}<\varepsilon /2r.}$

Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego ${\displaystyle k,}$ szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

spełnia warunek Cauchy’ego.

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij MichajłowiczG.M. Fichtenholz Grigorij MichajłowiczG.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966 .

Literatura dodatkowa

• KonradK. Knopp KonradK., Theory and Application of Infinite Series, London-Glasgow: Blackie & Son Ltd., 1990 . Brak numerów stron w książce
• KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, Warszawa: PWN, 1961 .
• Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden Analiza matematyczna dla fizyków tom 1: Toruń, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 1994.