Kryterium d’Alemberta

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta^[1]) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

${\displaystyle D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\qquad (n\in \mathbb {N} ).}$

• Jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ oraz pewnego ${\displaystyle r<1}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle D_{n}\leqslant r,}$

to szereg (A) jest zbieżny.

• Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle D_{n}>1,}$

to szereg (A) jest rozbieżny^[2].

Wersja graniczna kryterium

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

${\displaystyle D=\lim _{n\to \infty }D_{n},}$

to

• gdy ${\displaystyle D<1,}$ szereg (A) jest zbieżny, oraz
• gdy ${\displaystyle D>1,}$ szereg (A) jest rozbieżny^[2].

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }D_{n}=1.}$

Istotnie, rozważmy ciągi

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}},\;b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}.}$

Wówczas

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}=1.}$

Jednak szereg (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski)^[3][4].

Dowód

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych ${\displaystyle n}$ oraz pewnego ${\displaystyle r<1}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle D_{n}\leqslant r.}$

Stąd

${\displaystyle a_{n+1}\leqslant r\cdot a_{n}}$

dla każdego ${\displaystyle n\geqslant N.}$ Oznacza to, że dla każdego ${\displaystyle n>N}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle a_{N+n}\leqslant r^{n}\cdot a_{N}.}$

Szereg

${\displaystyle a_{N}+r\cdot a_{N}+r^{2}\cdot a_{N}+r^{3}a_{N}+\ldots }$

jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie ${\displaystyle r<1.}$ Ponadto, majoryzuje on szereg

${\displaystyle a_{N}+a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\ldots }$

Na mocy kryterium porównawczego szereg (A) jest zatem zbieżny^[1][5].

W przypadku gdy istnieje taka liczba ${\displaystyle N,}$ że nierówność

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant 1}$

zachodzi dla wszystkich ${\displaystyle n\geqslant N,}$ szereg (A) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg (A) jest rozbieżny^[2].

Przykłady zastosowania

• Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny ${\displaystyle a_{n}}$ szeregu (A) zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}.}$

Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci

${\displaystyle a_{n}={\frac {n!}{n^{n}}}.}$

Mamy

${\displaystyle D_{n}={\frac {\frac {(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac {n!}{n^{n}}}}={\frac {(n+1)!}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n+1}}}={\frac {n!(n+1)}{n!}}\cdot {\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}(n+1)}}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n}={\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}.}$

Zatem korzystając z granicy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e,}$

otrzymujemy

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }D_{n}={\frac {1}{e}}<1,}$

co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.

• Niech

${\displaystyle a_{n}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}={\frac {(2n)!}{6^{n}n!}}\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

Wówczas

${\displaystyle D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(2n+2)!}{6^{n+1}(n+1)!}}\cdot {\frac {6^{n}n!}{(2n)!}}={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {(2n+1)(2n+2)}{n+1}}\ {\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\infty .}$

Oznacza to, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{3^{n}}}}$

jest rozbieżny.

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: PWN, 1967.
• Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.

Literatura dodatkowa

• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ratio Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].