Owal Cassiniego

Owal Cassiniego – krzywa płaska będąca zbiorem punktów, dla których iloczyn odległości od dwóch ustalonych punktów (zwanych ogniskami) oddalonych o ${\displaystyle 2c}$ jest stały i równy ${\displaystyle a^{2}.}$ Została opisana przez Giovanniego Cassiniego^[1].

W szczególności:

• dla ${\displaystyle a<c}$ owal składa się z dwóch zamkniętych krzywych;
• dla ${\displaystyle a=c}$ owal jest lemniskatą Bernoulliego;
• dla ${\displaystyle a>c}$ owal jest jedną zamkniętą krzywą bez samoprzecięć, przy czym:
  • dla ${\displaystyle c<a<{\sqrt {2}}c}$ owal ma przewężenie i tym samym ma cztery punkty przegięcia, jest nazywany kassinoidą;
  • dla ${\displaystyle a={\sqrt {2}}c}$ owal ma krzywiznę równą ${\displaystyle 0}$ w punktach równo oddalonych od ognisk;
  • dla ${\displaystyle a>{\sqrt {2}}c}$ owal jest krzywą elipsopodobną, ograniczającą na płaszczyźnie obszar wypukły.

Równania owalu Cassiniego:

• we współrzędnych kartezjańskich^[1]:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}-c^{4}}$

• we współrzędnych biegunowych^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi \pm {\sqrt {a^{4}\cos ^{2}{2\varphi }-(a^{4}-c^{4})}}}$

Zobacz też

• lista krzywych

Przypisy

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Nowoczesne kompendium matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004. ISBN 83-01-14148-4. Brak numerów stron w książce s. 106–107

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cassini Ovals, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).