Pierścień Dedekinda

Pierścień Dedekinda – pierścień całkowity oznaczany jako ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ i zdefiniowany następująco ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]=\{a+i{\sqrt {5}}b:a,b\in {\mathbb {Z} }\}.}$ Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba ${\displaystyle 2\in {\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}}$ jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.

Pierścienie Dedekinda

Jeśli pierścień ${\displaystyle R}$ jest podpierścieniem pierścienia ${\displaystyle S,}$ to element ${\displaystyle s\in S}$ nazywamy całkowitym nad ${\displaystyle R,}$ gdy spełnia on warunek

${\displaystyle s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n-1}s+a_{n}=0}$ dla pewnej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$ i elementów ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}\in R}$

(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).

Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.

Jeśli ciało ${\displaystyle F}$ jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (tzn. ${\displaystyle F}$ zawiera ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała ${\displaystyle F}$ całkowitych nad ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ jest pierścieniem Dedekinda).

Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.

Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np. ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.

Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.

Zobacz też

• pierścień (matematyka)
• Richard Dedekind

Literatura

• Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.
• Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers (ang.), PWN, 1974.