Pochodna formalna

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2016-09 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Pochodna formalna – operacja na elementach pierścieni wielomianów lub pierścieni szeregów formalnych naśladująca własności pochodnej funkcji znanej z analizy matematycznej. Pochodna formalna ułatwia badanie pierwiastków wielomianu: są one wielokrotne, jeśli są zarazem pierwiastkami pochodnej wielomianu.

Niech dany będzie pierścień wielomianów R [ x ] {\displaystyle R[x]} i wielomian

f = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle f=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}

do niego należący. Pochodną formalną wielomianu f {\displaystyle f} nazywa się wielomian f ′ {\displaystyle f'} dany wzorem

f ′ = n a n x n − 1 + ( n − 1 ) a n − 1 x n − 2 + ⋯ + 2 a 2 x + a 1 . {\displaystyle f'=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.}

Powyższe sformułowanie przenosi się wprost na szeregi formalne, należy tylko założyć, iż pierścień skalarów jest przemienny.