Relaksacja dielektryczna

Relaksacja dielektryczna – zanik nierównowagowej polaryzacji ośrodka dielektrycznego po zmianie przyłożonego pola elektrycznego.

W funkcji czasu opisuje się ją funkcją relaksacji zwana też funkcją odpowiedzi dielektrycznej. Opisuje ona zmiany wektora polaryzacji pod wpływem zmiennego w czasie pola elektrycznego.

W funkcji częstotliwości opisuje się ją zespolonymi funkcjami: podatnością dielektryczną lub przenikalnością dielektryczną.

Funkcja relaksacji

Funkcja odpowiedzi dielektrycznej f ( t ) {\displaystyle f(t)} jest zdefiniowana przez równanie[1]

P → ( t ) = ε 0 E → Δ t f ( t ) , {\displaystyle {\vec {P}}(t)=\varepsilon _{0}{\vec {E}}\Delta tf(t),}

gdzie:

ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} – przenikalność dielektryczna próżni,
E → {\displaystyle {\vec {E}}} – natężenie pola elektrycznego działającego w bardzo krótkim czasie Δ t , {\displaystyle \Delta t,}
P → ( t ) {\displaystyle {\vec {P}}(t)} – wektor polaryzacji dielektrycznej wywołany przez to pole elektryczne.

Funkcja ta musi posiadać następujące własności:

f ( t ) = { 0 , dla  t < 0 0 , dla  t → ∞ . {\displaystyle f(t)={\begin{cases}0,&{\text{dla }}t<0\\0,&{\text{dla }}t\to \infty \end{cases}}.}

Pierwszy warunek oznacza, że polaryzacja nie występuje przed przyłożeniem pola, a drugi, że polaryzacja nie jest trwała i ustępuje po ustąpieniu pola elektrycznego. By opisać całkowitą polaryzację dielektryka P → ( t ) {\displaystyle {\vec {P}}(t)} w dowolnym momencie czasu t {\displaystyle t} należy uwzględnić całą dotychczasową historię przyłożonego pola elektrycznego:

P → ( t ) = ε 0 ∫ 0 ∞ f ( τ ) E → ( t − τ ) d τ . {\displaystyle {\vec {P}}(t)=\varepsilon _{0}\int _{0}^{\infty }f(\tau ){\vec {E}}(t-\tau )\,d\tau .}

Jednostką funkcji relaksacji w układzie SI (jednostka pochodna układu SI) jest Herc.

Opis w funkcji częstotliwości

Przejście do opisu w funkcji częstotliwości

By przejść od opisu w funkcji czasu do opisu w funkcji częstotliwości, należy wykonać transformację Fouriera wektora polaryzacji w funkcji czasu. Z twierdzenia o transformacji Fouriera splotu otrzymuje się[2]:

P → ( ω ) = ε 0 χ ( ω ) E → ( ω ) , {\displaystyle {\vec {P}}(\omega )=\varepsilon _{0}\,\chi (\omega ){\vec {E}}(\omega ),}

gdzie P → ( ω ) {\displaystyle {\vec {P}}(\omega )} oraz E → ( ω ) {\displaystyle {\vec {E}}(\omega )} to wektory polaryzacji i natężenia pola elektrycznego w funkcji częstotliwości[a], a transformata Fouriera funkcji odpowiedzi dielektrycznej χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} nosi nazwę podatności dielektrycznej

χ = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − j ω t d t = χ ′ ( ω ) − j χ ″ ( ω ) . {\displaystyle \chi =\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}\,dt=\chi '(\omega )-j\chi ''(\omega ).}

Właściwości składowych podatności

Relacja Kramersa-Kroniga

Z faktu, że są częścią rzeczywista i urojoną transformaty jednej funkcji odpowiedzi dielektrycznej wynika, że części podatności dielektrycznej nie są od siebie niezależne, ale spełniają relację Kramersa-Kroniga, która będzie miała postać:

χ ′ ( ω ) = 2 π ∫ 0 ∞ u χ ″ ( u ) u 2 − ω 2 d u {\displaystyle \chi '(\omega )={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {u\,\chi ''(u)}{u^{2}-\omega ^{2}}}\,du}

oraz

χ ″ ( ω ) = − 2 π ∫ 0 ∞ ω χ ′ ( u ) u 2 − ω 2 d u . {\displaystyle \chi ''(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\omega \,\chi '(u)}{u^{2}-\omega ^{2}}}\,du.}

Wynika z tego ważny wniosek, że obie składowe podatności nie są od siebie niezależne, ale jedna z nich jednoznacznie określa drugą.

Szczególne typy relaksacji dielektrycznej

Charakter odpowiedzi relaksacyjnej dielektryka zależy od jego struktury i składu.

Relaksacja Debye’a

 Osobny artykuł: Relaksacja Debye’a.

Funkcją odpowiedzi dielektrycznej układu jednakowych nieoddziałujących dipoli jest funkcja wykładnicza:

f ( t ) = e − t τ . {\displaystyle f(t)=e^{-{\frac {t}{\tau }}}.}

W domenie częstotliwości relaksacja może być opisywana równaniem Debye’a:

χ ( ω ) = χ ∞ + Δ χ 1 + j ω τ . {\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{\infty }+{\frac {\Delta \chi }{1+j\omega \tau }}.}

Inne równania relaksacji

W rzeczywistych dielektrykach procesy relaksacji charakteryzują się dużym skomplikowaniem i do ich opisu często używa się zależności empirycznych. Są to: funkcja KWW (Kohlrauscha-Wattsa-Williamsa), relaksacje Cole'a-Cole'a, Cole'a-Davidsona czy Havriliaka-Negamiego.

Uwagi

  1. ↑ Wektory polaryzacji i natężenia pola elektrycznego w funkcji czasu i częstotliwości są oczywiście zupełnie innymi funkcjami, ale w literaturze przyjęło się je oznaczać tymi samymi literami.

Przypisy

  1. ↑ A.K. Jonscher, Dielectric..., s. 38.
  2. ↑ A.K. Jonscher, Dielectric..., s. 43.

Bibliografia

  • A.K. Jonscher: Dielectric relaxation in solids. London: Chelsea Dielectrics Press, 1983. ISBN 0-9508711-0-9.
  • August Chełkowski: Fizyka dielektryków. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979. ISBN 83-01-01273-0.