Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego

Rozwiązanie zwyczajnego równania różniczkowego o postaci ogólnej ${\displaystyle \Phi (x,y,y^{'},y^{''},\dots ,y^{(n)})=0}$^[1] – jest to taka funkcja wielokrotnie różniczkowalna ${\displaystyle \phi (x),}$ która spełnia to równanie różniczkowe na danym przedziale ${\displaystyle D}$ (tzn. dla każdego ${\displaystyle x\in D}$). Podstawienie funkcji ${\displaystyle \phi }$ w równanie przekształca je w tożsamość ${\displaystyle \Phi (x,\phi ,\phi ^{'},\phi ^{''},\dots ,\phi ^{(n)})\equiv 0.}$

Rozwiązaniem ogólnym zwyczajnego równania różniczkowego nazywamy taką funkcję ${\displaystyle \psi (x;C),}$ że dla każdego ${\displaystyle C}$ należącego do ustalonego przedziału jest ona rozwiązaniem (szczególnym) danego równania.

Przykład

Funkcja

${\displaystyle \psi (x;C)=Ce^{x}}$

jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego ${\displaystyle y=y',}$ natomiast każda z funkcji

${\displaystyle e^{x},\ 2e^{x},\ 7e^{x},\ {\sqrt {2}}e^{x}}$

jest jego rozwiązaniem szczególnym.

Przypisy