Traktrysa

Traktrysa, traktoria, wleczona – krzywa płaska, wzdłuż której porusza się mały obiekt wleczony przez ciągnącego po poziomej płaszczyźnie, przy pomocy nici o stałej długości. Ciągnący porusza się po linii prostej^[1].

Opis matematyczny

Przyjęto założenia, że poziomą prostą jest oś ${\displaystyle Ox}$ i położenie początkowe obiektu oznaczone jest przez punkt ${\displaystyle B=(0,b)}$ na osi ${\displaystyle Oy.}$ Za parametr ${\displaystyle \theta (t)}$ obrano kąt skierowany między osią ${\displaystyle Ox}$ a wektorem ${\displaystyle Q'Q,}$ którego początkiem ${\displaystyle Q}$ jest punkt krzywej, zaś końcem ${\displaystyle Q'}$ punkt „ciągnący”, poruszający się po osi ${\displaystyle Ox.}$

Dla obiektu wleczonego przyjmującego pozycje ${\displaystyle Q}$ z przedziału ${\displaystyle [0;4],}$ kreślona krzywa przyjmuje postać:

Odcinek stycznej, ograniczony punktem styczności ${\displaystyle Q}$ z krzywą i punktem ${\displaystyle Q'}$ przecięcia z osią ${\displaystyle Ox,}$ ma stałą długość ${\displaystyle b.}$ Oznaczono przez ${\displaystyle x(t)}$ oraz ${\displaystyle y(t)}$ wartości współrzędnych punktu ${\displaystyle Q}$ zakreślającego traktrysę. Wtedy równania mają postać:

${\displaystyle {\begin{cases}y(t)=b\sin \theta (t)\\x(t)=t+b\cos \theta (t)\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \theta (t)={\frac {dy}{dx}}={\frac {\theta '(t)b\cos \theta (t)}{1-\theta '(t)b\sin \theta (t)}},}$

${\displaystyle \theta '(t)={\frac {\sin \theta (t)}{b}},}$

stąd

${\displaystyle t=b\ln \operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}.}$

Równanie parametryczne traktrysy jest następujące:

${\displaystyle Q(\theta )=(b\cos \theta +b\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}\right|,b\sin \theta ),}$

gdy:

${\displaystyle \theta \in (0,\pi )}$

otrzymuje się całą traktorię, rozciągającą się w obie strony w nieskończoność i z każdej strony zbliżającą się do osi ${\displaystyle Ox.}$ Oś ta jest asymptotą traktrysy, oś ${\displaystyle Oy}$ zaś osią jej symetrii.

W punkcie ${\displaystyle B=(0,b),}$ a więc dla ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ istnieje punkt osobliwy (ostrze) krzywej.

Długość łuku traktrysy ${\displaystyle BQ}$ wynosi:

${\displaystyle l=b\ln {\frac {b}{y}},}$

zaś jej promień krzywizny:

${\displaystyle r=b\operatorname {ctg} {\frac {x}{y}}.}$

Ewolutą traktrysy, a więc zbiorem wszystkich jej środków krzywizny, jest krzywa łańcuchowa. Obracając traktrysę wokół jej asymptoty dostanie się powierzchnię zwaną pseudosferą

Zobacz też

Zobacz galerię związaną z tematem: Traktrysa

• lista krzywych

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Tractrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).