Twierdzenie Radona-Nikodýma

Twierdzenie Radona-Nikodýma – twierdzenie teorii miary mówiące o reprezentacji pewnych σ-addytywnych funkcjonałów na przestrzeniach mierzalnych, czyli miar. Twierdzenie sformułowane przez Johanna Radona zostało uogólnione przez Ottona M. Nikodýma w 1930 r.

David Fremlin opisuje to twierdzenie oraz środki techniczne potrzebne do jego dowodu jako znajdujące się wśród sześciu najważniejszych wyników teorii miary[1].

Oznaczenia i podstawowe definicje

Ω {\displaystyle \Omega } jest dowolnym zbiorem, natomiast A {\displaystyle {\mathcal {A}}} jest σ-ciałem jego podzbiorów. Na σ-ciele A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ustalone są z kolei pewne funkcje μ : A ⟶ [ 0 , + ∞ ] , ν : A ⟶ R . {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow [0,+\infty ],\nu \colon {\mathcal {A}}\longrightarrow \mathbb {R} .}

  • Funkcja ν {\displaystyle \nu } nazywana jest σ-addytywną, jeśli dla każdego ciągu parami rozłącznych zbiorów A 1 , A 2 , ⋯ ∈ A {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}} spełniony jest warunek
ν ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ ν ( A n ) . {\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n}).}
  • Jeśli μ {\displaystyle \mu } jest miarą oraz ν {\displaystyle \nu } jest σ-addytywną funkcją zbiorów, to mówi się, że ν {\displaystyle \nu } jest bezwzględnie (absolutnie) ciągła względem μ {\displaystyle \mu } (ozn. ν ≪ μ {\displaystyle \nu \ll \mu } ), gdy dla każdego A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} spełniony jest warunek
μ ( A ) = 0 ⇒ ν ( A ) = 0. {\displaystyle \mu (A)=0\Rightarrow \nu (A)=0.}

Twierdzenie Radona-Nikodýma

Niech ν {\displaystyle \nu } będzie σ-addytywną funkcją zbioru oraz μ {\displaystyle \mu } będzie miarą σ-skończoną. Jeśli ν {\displaystyle \nu } jest absolutnie ciągła względem μ , {\displaystyle \mu ,} to istnieje taka funkcja h ∈ L 1 ( Ω , A , μ ) {\displaystyle h\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} (zob. przestrzeń Lp), że dla A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}

Ilustracja konieczności założenia absolutnej ciągłości miar – nośniki miar są oznaczone jako S μ {\displaystyle S_{\mu }} i S ν . {\displaystyle S_{\nu }.} Miary mają wartość 0 na zbiorach poza swoimi nośnikami. Całka po zbiorze A względem miary μ {\displaystyle \mu } jest równa 0, bo leży on poza jej nośnikiem; z kolei ν ( A ) > 0 , {\displaystyle \nu (A)>0,} więc twierdzenie nie może być spełnione. Konieczne jest więc założenie S ν ⊆ S μ , {\displaystyle S_{\nu }\subseteq S_{\mu },} czyli po prostu ν ≪ μ . {\displaystyle \color {blue}\nu \ll \mu .}
ν ( A ) = ∫ A h d μ . {\displaystyle \nu (A)=\int \limits _{A}hd\mu .}

Funkcja h {\displaystyle h} wyznaczona μ {\displaystyle \mu } -prawie wszędzie, nazywana jest pochodną Radona-Nikodýma funkcji ν {\displaystyle \nu } względem μ {\displaystyle \mu } i oznaczana jest symbolem

h = d ν d μ . {\displaystyle h={\frac {d\nu }{d\mu }}.}

Własności

Jeżeli λ : A → R {\displaystyle \lambda \colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R} } jest σ-addytywną funkcją zbiorów bezwzględnie ciągłą względem μ {\displaystyle \mu } oraz λ ⩽ ν , {\displaystyle \lambda \leqslant \nu ,} to

  • d λ d μ ⩽ d ν d μ , {\displaystyle {\frac {d\lambda }{d\mu }}\leqslant {\frac {d\nu }{d\mu }},}
  • d ( a λ + b ν ) d μ = a d λ d μ + b d ν d μ {\displaystyle {\frac {d(a\lambda +b\nu )}{d\mu }}=a{\frac {d\lambda }{d\mu }}+b{\frac {d\nu }{d\mu }}}

o ile a λ , b ν > − ∞ {\displaystyle a\lambda ,b\nu >-\infty } stale lub a λ , b ν < + ∞ {\displaystyle a\lambda ,b\nu <+\infty } stale dla liczb rzeczywistych a , b . {\displaystyle a,b.}

Twierdzenie o zamianie miary

Pod założeniami twierdzenia Radona-Nikodýma, jeżeli A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} oraz f ∈ L 1 ( A , A | A , ν ) , {\displaystyle f\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\nu ),} to f d ν d μ ∈ L 1 ( A , A | A , μ ) {\displaystyle f{\frac {d\nu }{d\mu }}\in L^{1}(A,{\mathcal {A}}|_{A},\mu )} oraz

∫ A f d ν = ∫ A f d ν d μ d μ . {\displaystyle \int \limits _{A}fd\nu =\int \limits _{A}f{\frac {d\nu }{d\mu }}d\mu .}

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Fremlin, David H.: Measure Theory. T. 2: Broad Foundations. Torres Fremlin, 2001, s. 107. ISBN 0-9538129-2-8. Cytat: The Radon-Nikodym theorem must be on any list of the half-doze most important theorems of measure theory, and not only the theorem itself, but the techniques necessary to prove it, are at the heart of the subject. [1].

Bibliografia

  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 202–207.
  • Paul R. Halmos: Measure theory. New York, Springer-Verlag [1974, c1950], s. 128–136. ISBN 0-387-90088-8.
  • Joseph Diestel, Jerry Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. ISBN 978-0821815151.