Zbiór rzutowy

Zbiory rzutowe – podzbiory przestrzeni polskiej, które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina[1][2][3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[4].

Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech N {\displaystyle {\mathcal {N}}} oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych n ∈ N {\displaystyle n\in {\mathbb {N} }} dla każdej przestrzeni polskiej X {\displaystyle X} definiujemy klasy Łuzina Σ n 1 ( X ) {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}(X)} i klasy dualne Π n 1 ( X ) {\displaystyle \Pi _{n}^{1}(X)}

  • Σ 1 1 ( X ) {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(X)} jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A {\displaystyle A} przestrzeni X , {\displaystyle X,} że dla pewnego zbioru borelowskiego B ⊆ X × N {\displaystyle B\subseteq X\times {\mathcal {N}}} mamy A = { x ∈ X : ( ∃ r ∈ N ) ( ( x , r ) ∈ B ) } , {\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},}
  • Π 1 1 ( X ) {\displaystyle \Pi _{1}^{1}(X)} jest rodziną tych podzbiorów A {\displaystyle A} przestrzeni X , {\displaystyle X,} że X ∖ A ∈ Σ 1 1 ( X ) , {\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{1}^{1}(X),}
  • Σ n + 1 1 ( X ) {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}(X)} jest rodziną tych podzbiorów A {\displaystyle A} przestrzeni X , {\displaystyle X,} że dla pewnego B ∈ Π n 1 ( X × N ) {\displaystyle B\in \Pi _{n}^{1}(X\times {\mathcal {N}})} mamy A = { x ∈ X : ( ∃ r ∈ N ) ( ( x , r ) ∈ B ) } , {\displaystyle A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal {N}})((x,r)\in B)\},}
  • Π n + 1 1 ( X ) {\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}(X)} jest rodziną tych podzbiorów A {\displaystyle A} przestrzeni X , {\displaystyle X,} że X ∖ A ∈ Σ n + 1 1 ( X ) . {\displaystyle X\setminus A\in \Sigma _{n+1}^{1}(X).}

Definiujemy również Δ n 1 ( X ) = Σ n 1 ( X ) ∩ Π n 1 ( X ) . {\displaystyle \Delta _{n}^{1}(X)=\Sigma _{n}^{1}(X)\cap \Pi _{n}^{1}(X).}

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy Σ n 1 , Π n 1 , Δ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1},\Pi _{n}^{1},\Delta _{n}^{1}} (zamiast Σ n 1 ( X ) , Π n 1 ( X ) , Δ n 1 ( X ) {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}(X),\Pi _{n}^{1}(X),\Delta _{n}^{1}(X)} ). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

  • elementy klasy Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}} nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}} są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
  • klasy Σ 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}} i Π 2 1 {\displaystyle \Pi _{2}^{1}} oznaczane są też przez PCA i CPCA etc.

Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np. monografię Yiannisa Moschovakisa[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6].

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie „ ⊆ {\displaystyle \subseteq } ” jest reprezentowane przez strzałkę „ ⟶ {\displaystyle \longrightarrow } ”):
Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}} Σ 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}} … {\displaystyle \ldots } Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} Σ n + 1 1 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{1}} … {\displaystyle \ldots }
↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow }
Δ 1 1 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}} Δ 2 1 {\displaystyle \Delta _{2}^{1}} Δ 3 1 {\displaystyle \Delta _{3}^{1}} … {\displaystyle \ldots } Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} Δ n + 1 1 {\displaystyle \Delta _{n+1}^{1}}
↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow } ↗ {\displaystyle \nearrow } ↘ {\displaystyle \searrow }
Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}} Π 2 1 {\displaystyle \Pi _{2}^{1}} … {\displaystyle \ldots } Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} Π n + 1 1 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}} … {\displaystyle \ldots }
  • Δ 1 1 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}} jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X . {\displaystyle X.}
  • Każda klasa Łuzina Σ n 1 {\displaystyle \Sigma _{n}^{1}} jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych Π n 1 {\displaystyle \Pi _{n}^{1}} [7].
  • Każda klasa Δ n 1 {\displaystyle \Delta _{n}^{1}} jest σ-ciałem zbiorów.
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią polską, f : X ⟶ Y {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y} jest funkcją ciągłą oraz A ∈ Σ n 1 ( X ) , {\displaystyle A\in \Sigma _{n}^{1}(X),} to f ( A ) ∈ Σ n 1 ( Y ) . {\displaystyle f(A)\in \Sigma _{n}^{1}(Y).}
  • Jeśli Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią polską, f : X ⟶ Y {\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y} jest funkcją ciągłą oraz B ∈ Σ n 1 ( Y ) {\displaystyle B\in \Sigma _{n}^{1}(Y)} ( B ∈ Π n 1 ( Y ) ) , {\displaystyle (B\in \Pi _{n}^{1}(Y)),} to także f − 1 ( B ) ∈ Σ n 1 ( Y ) {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{n}^{1}(Y)} ( f − 1 ( B ) ∈ Π n 1 ( Y ) ) . {\displaystyle (f^{-1}(B)\in \Pi _{n}^{1}(Y)).}
  • Wszystkie zbiory z Σ 1 1 ∪ Π 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\cup \Pi _{1}^{1}} mają własność Baire’a.
  • Wszystkie zbiory z Σ 1 1 ( R ) ∪ Π 1 1 ( R ) {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}({\mathbb {R} })\cup \Pi _{1}^{1}({\mathbb {R} })} są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
  • Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z Σ 2 1 ∪ Π 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}\cup \Pi _{2}^{1}} są mierzalne i mają własność Baire’a.
  • Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to
(a) istnieje Σ 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}} -dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,
(b) istnieje Δ 2 1 {\displaystyle \Delta _{2}^{1}} -podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i który nie ma własności Baire’a,
(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a[8].
  • Można zbudować pojęcie forsingu, które forsuje, że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire’a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy Σ 3 1 {\displaystyle \Sigma _{3}^{1}} implikuje, że ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)[9].
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z Σ 1 1 ( N ) {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}({\mathcal {N}})} są zdeterminowane[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[11][12].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Lusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1318–1320.
  2. ↑ Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 180 (1925), 1572–1575.
  3. ↑ Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris” 188 (1925), 1817–1819.
  4. ↑ Sierpiński, W.: Sur une classe d’ensembles, „Fundamenta Mathematicae” 7 (1925), 237–243.
  5. ↑ Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics”, 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85305-7.
  6. ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X.
  7. ↑ Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), „Fundamenta Mathematicae” 11 (1928), 123–126.
  8. ↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. „Ann. of Math.” 92 (1970) 1–56.
  9. ↑ Shelah, Saharon: Can you take Solovay’s inaccessible away? „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.
  10. ↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fund. Math.” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  11. ↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.
  12. ↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. „Journal of the American Mathematical Society” 2 (1989), s. 1, 71–125.