Conjuntos disjuntos

Em matemática, dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio.^[1]

Exemplos

• O conjuntos: ${\displaystyle \{1,2,3\}\,}$ e ${\displaystyle \{6,7\}\,}$ são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
• O conjunto dos números pares e o conjuntos dos números impares são disjuntos, pois não existe um número que seja par e impar ao mesmo tempo.
• O conjunto dos números primos e o conjunto dos números pares não são disjuntos pois o número 2 é par e primo ao mesmo tempo.

Definição

Dois conjuntos ${\displaystyle A\,}$ e ${\displaystyle B\,}$ são ditos disjuntos se:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset \,}$

Uma família de conjuntos é dita disjunta dois a dois ou mutuamente disjunta se dados dois conjuntos quaisquer da família, eles são disjuntos. Mais formalmente falando, seja ${\displaystyle A_{\lambda }\,}$ uma família de conjuntos disjuntos indexados pelo índice ${\displaystyle \lambda \in \Lambda \,}$, então:

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,~~\forall i,j\in \Lambda ,~i\neq j\,}$

Observe cuidadosamente que ${\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\emptyset \,}$ não implica que a família seja disjunta dois a dois. Um contraexemplo seria: ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}\,}$.

Partição

Uma partição é uma família ${\displaystyle \{A_{\lambda },\lambda \in \Lambda \}\,}$ de subconjuntos disjuntos de um espaço ${\displaystyle X\,}$ cuja união é todo o espaço:

• ${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{i}=X.\,}$
• ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ~~\forall i,j\in \Lambda ,~i\neq j.\,}$

Partições aparecem naturalmente como classes de equivalência em uma relação de equivalência.

Referências