Corpo de frações

Seja ${\displaystyle (A,+,*)}$ um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão ${\displaystyle (B,+,*)}$ que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.^[1]

De modo geral, ${\displaystyle (B,+,*)\,}$ é um corpo de frações do anel ${\displaystyle (A,+,*)\,}$ quando B for um corpo, e contiver um sub-anel A' isomórfico a A.^[1] Quando B existe (mais abaixo estão enumeradas as condições para sua existência) podemos dizer que B é o corpo de frações de A, porque qualquer outro corpo de frações de A será isomórfico a B.

Construção

A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros.^[1]

Como ${\displaystyle (B,+,*)}$ é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em ${\displaystyle (A,+,*)}$, a multiplicação também deve ser comutativa.

Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.

Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.

As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.

Como os elementos de B tem a forma ${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}\,}$ para ${\displaystyle a_{1}\in A\land a_{2}\in A\land a_{2}\neq 0\,}$, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados ${\displaystyle A\times A^{\star }=A\times (A-\{0\})\,}$.^[1]

Define-se, em ${\displaystyle A\times A^{\star }}$:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a\ d+b\ c,b\ d)}$

${\displaystyle (a,b)*(c,d)=(a\ c,b\ d)}$

Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo ${\displaystyle b\ d\neq 0\,}$

Lembrando que ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\iff a\ d=b\ c\,}$, temos que considerar em ${\displaystyle A\times A^{\star }}$ a relação ${\displaystyle \sim \,}$ definida por ${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff a\ d=b\ c\,}$.^[1]

Prova-se facilmente que ${\displaystyle \sim \,}$ é uma relação de equivalência em ${\displaystyle A\times A^{\star }\,}$.^[1] Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em ${\displaystyle A\times A^{\star }\,}$ estão bem definidas no conjunto quociente ${\displaystyle {\frac {A\times A^{\star }}{\sim }}\,}$.^[1]

A projeção ${\displaystyle \pi :A\mapsto {\frac {A\times A^{\star }}{\sim }}\,}$ definida por ${\displaystyle \pi (x)=[(x,1)]\,}$ é um isomorfismo entre A e ${\displaystyle \pi (A)\,}$.^[1]

Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.

Unicidade

Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam i_A e i'_A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por:

${\displaystyle R=\{\ (b,b')\in B\times B'\ |\ \exists p,q\in A,\ b=i_{A}(p)/i_{A}(q),\ b'=i'_{A}(p)/i'_{A}(q)\ \}\,}$

Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.

Referências

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