Elasticidade de substituição

Elasticidade de substituição é a elasticidade da razão de duas entradas para uma função de produção ou função utilidade em relação à proporção de seus produtos marginais (ou utilidades marginais).^[1] Em um mercado competitivo, ela mede a variação percentual na proporção de dois insumos utilizados em resposta a uma variação percentual em seus preços.^[2] Ela mede a curvatura de uma isoquanta e, assim, a substituibilidade entre insumos (ou bens), ou seja, como é fácil substituir uma entrada (ou boa) pela outra.^[3]

História do conceito

John Hicks introduziu esse conceito em 1932. Joan Robinson descobriu de forma independente em 1933, usando uma formulação matemática que era equivalente a de Hicks, embora isso não tenha sido divulgado na época.^[4]

Definição matemática

Quando a utilidade sobre o consumo é dada por ${\displaystyle U(c_{1},c_{2})}$ e quando ${\displaystyle {\displaystyle U_{c_{i}}=dU(c_{1},c_{2})/d{c_{i}}}}$. Então a elasticidade de substituição é:

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}{U_{c_{1}}/U_{c_{2}}}}}={\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{1}/p_{2})}{p_{1}/p_{2}}}}}$

Onde ${\displaystyle MRS}$ é a taxa marginal de substituição. A última igualdade apresenta ${\displaystyle MRS_{12}=p_{1}/p_{2}}$ que é uma relação da condição de primeira ordem para um problema de maximização da utilidade do consumidor no equilíbrio interior de Arrow-Debreu. Intuitivamente, estamos analisando como as escolhas relativas de um consumidor em relação aos itens de consumo mudam à medida que os preços relativos mudam.

Note também que ${\displaystyle E_{21}=E_{12}}$:

${\displaystyle {\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}}$

Uma caracterização equivalente da elasticidade de substituição é: ^[5]

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}}$

Em modelos de tempo discreto, a elasticidade de substituição do consumo em períodos ${\displaystyle t}$ e ${\displaystyle t+1}$ é conhecida como elasticidade de substituição intertemporal.

Da mesma forma, se a função de produção é ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ então a elasticidade da substituição é:

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}}$

Onde ${\displaystyle MRTS}$ é a taxa marginal de substituição técnica.

O inverso da elasticidade de substituição é a elasticidade da complementaridade.

Exemplo

Considere a função de produção Cobb-Douglas ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}}$.

A taxa marginal de substituição técnica é:

${\displaystyle MRTS_{12}={\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}}$

É conveniente alterar as notações. Denotar:

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\theta }$

Reescrevendo isso, temos:

${\displaystyle {\frac {x_{2}}{x_{1}}}={\frac {1-a}{a}}\theta }$

Então a elasticidade de substituição é:

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln({\frac {x_{2}}{x_{1}}})}{d\ln({\frac {a}{1-a}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}})}}={\frac {d\ln({\frac {1-a}{a}}\theta )}{d\ln(\theta )}}={\frac {d{\frac {1-a}{a}}\theta }{d\theta }}{\frac {\theta }{{\frac {1-a}{a}}\theta }}=1}$

Interpretação econômica

Dada uma alocação / combinação original e uma substituição específica na alocação / combinação para a original, quanto maior a magnitude da elasticidade de substituição (a taxa marginal de elasticidade de substituição da alocação relativa), mais provável a substituição. Há sempre dois lados no mercado; aqui estamos falando do receptor, já que a elasticidade de preferência é a do receptor.

A elasticidade da substituição também rege a forma como o gasto relativo de bens ou insumos de fatores se altera à medida que os preços relativos mudam. Se ${\displaystyle S_{21}}$ denotar despesas em ${\displaystyle c_{2}}$ em relação a isso em ${\displaystyle c_{1}}$. Isso é:

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}}$

Com os preços relativos ${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$ mudando, as despesas relativas mudam de acordo com:

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)}$

Assim, se um aumento no preço relativo do ${\displaystyle c_{2}}$leva a um aumento ou diminuição dos gastos relativos ${\displaystyle c_{2}}$, depende de se a elasticidade de substituição é menor ou maior que um. Intuitivamente, o efeito direto de um aumento no preço relativo de ${\displaystyle c_{2}}$ é o aumento das despesas com ${\displaystyle c_{2}}$, uma vez que uma dada quantidade de ${\displaystyle c_{2}}$ é mais caro. Por outro lado, supondo que os bens em questão não são bens de Giffen, um aumento no preço relativo de ${\displaystyle c_{2}}$ leva a uma queda na demanda relativa de ${\displaystyle c_{2}}$, de modo que a quantidade de ${\displaystyle c_{2}}$ diminua, o que reduz as despesas com ${\displaystyle c_{2}}$.

Qual destes efeitos domina depende da magnitude da elasticidade de substituição. Quando a elasticidade de substituição é menor que um, o primeiro efeito domina: a demanda relativa por ${\displaystyle c_{2}}$ cai, mas proporcionalmente menos do que o aumento do seu preço relativo, de modo que a despesa relativa aumenta. Nesse caso, as mercadorias são bens complementares.

Inversamente, quando a elasticidade de substituição é maior do que um, o segundo efeito domina: a redução na quantidade relativa excede o aumento no preço relativo, de modo que a despesa relativa em ${\displaystyle c_{2}}$ cai. Nesse caso, as mercadorias são bens substitutos. Note que quando a elasticidade de substituição é exatamente um (como no caso de Cobb-Douglas), a despesa em ${\displaystyle c_{2}}$ relativo a ${\displaystyle c_{1}}$ é independente dos preços relativos.

Referências

Bibliografia

• Hicks, J. R. The Theory of Wages. [S.l.: s.n.]  Primeiro definido lá.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston; Green. Microeconomic Theory. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0195073409 
• Varian, Hal. Microeconomic Analysis. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-393-95735-8 
• «Factor Substitution and Factor-Augmenting Technical Progress in the United States: A Normalized Supply-Side System Approach». Review of Economics and Statistics. 89. doi:10.1162/rest.89.1.183 

Ligações externas

• A Elasticidade da Substituição , Gonçalo L. Fonsekca, ensaio, A Nova Escola de Pesquisa Social.

Ver também

• Elasticidade de substituição constante

• Portal de economia e negócios