Equações de Friedmann

As Equações de Friedmann são um conjunto de equações em cosmologia física que governam a expansão métrica do espaço em modelos homogêneos e isotrópicos do Universo dentro do contexto da Teoria Geral da Relatividade. Foram apresentadas por Alexander Friedman em 1922^[1] a partir das equações de campo de Einstein para a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker e um fluido com uma densidade de energia (${\displaystyle \rho }$) e uma pressão (${\displaystyle p}$) dadas. As equações para curvatura espacial negativa foram dadas por Friedmann em 1924.^[2]

Pressupostos

Ver artigo principal: Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker

As equações de Friedmann começam com a hipótese simplificadora de que o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, i.e. o Princípio Cosmológico; empiricamente, isto é justificado em escalas maiores que ~100 Mpc. O Princípio Cosmológico implica que a métrica do universo deve ser da forma:

${\displaystyle ds^{2}={a(t)}^{2}ds_{3}^{2}-dt^{2}}$

onde ${\displaystyle ds_{3}^{2}}$ é uma métrica tridimensional que deve ser de um (a) espaço plano, (b) uma esfera de curvatura positiva constante ou (c) um espaço hiperbólico com curvatura negativa constante. O parâmetro ${\displaystyle k}$ discutido abaixo toma o valor 0, 1, -1 nestes três casos, respectivamente. É este fato que nos permite falar de uma forma sensata de um "fator de escala", ${\displaystyle a(t)}$.

As equações de Einstein agora relacionam a evolução deste fator de escala para a pressão e energia da matéria no universo. As equações resultantes são descritas abaixo.

Equações

As equações são:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda }{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda -4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})}$

onde ${\displaystyle \Lambda }$ é a constante cosmológica possivelmente causada pela energia do vazio, ${\displaystyle G}$ é a constante gravitacional, ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz, ${\displaystyle a}$ é o fator de escala do Universo e ${\displaystyle K}$ é a curvatura gaussiana quando ${\displaystyle a=1}$ (p.ex. hoje, na atualidade). Se a forma do universo é hiperesférica e ${\displaystyle R}$ é o raio de curvatura (${\displaystyle R_{0}}$ no momento atual), então ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. Geralmente, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ é a curvatura gaussiana. Se ${\displaystyle K}$ é positiva, então o Universo é hiperesférico. Se ${\displaystyle K}$ é zero, o Universo é plano e se ${\displaystyle K}$ é negativo o Universo é hiperbólico. Note-se que ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle p}$ são função de ${\displaystyle a}$. O parâmetro de Hubble, ${\displaystyle H}$, é a velocidade de expansão do universo.

Estas equações às vezes se simplificam redefinindo a densidade de energia e a pressão:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{8\pi G}}}$ ${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

para obter:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}})}$

O parâmetro de Hubble pode mudar no tempo se outros membros da equação são dependentes do tempo (em particular a densidade de energia, a energia do vazio e a curvatura). Avaliando o parâmetro de Hubble no momento atual resulta que a constante de Hubble que é a constante de proporcionalidade da lei de Hubble. Aplicado a um fluido com uma equação de estado dada, as equações de Friedmann dão como resultado a evolução no tempo e a geometria do Universo como função da densidade do fluido.

Alguns cosmólogos chamam à segunda destas duas equações a equação de aceleração e reservam o termo equação de Friedmann só para a primeira equação.

O parâmetro de densidade

O parâmetro de densidade, ${\displaystyle \Omega }$, se define como a relação da densidade atual (ou observada) ${\displaystyle \rho }$ relacionado à densidade crítica ${\displaystyle \rho _{c}}$ do Universo de Friedmann. Uma expressão para a densidade crítica se encontra assumindo que ${\displaystyle \Lambda }$ é zero (como é para todos os Universos de Friedmann básicos) e estabelecendo a curvatura ${\displaystyle K}$ igual a zero. Quando se substituem estes parâmetros na primeira equação de Friedmann encontramos que:

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$

E a expressão para o parâmetro de densidade (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) se obtém que é:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$

Este termo originalmente foi utilizado como uma maneira de determinar a geometria do campo no que ${\displaystyle \rho _{c}}$ é a densidade crítica para a qual a geometria é plana. Assumindo uma densidade de energia do vazio nula, se ${\displaystyle \Omega }$ é maior que um, a geometria é fechada e o Universo eventualmente parará sua expansão e então se colapsará. Se ${\displaystyle \Omega }$ é menor que um, será aberto e o Universo se expandirá para sempre. Entretanto, também se podem sintetizar os termos de curvatura e da energia do vazio numa expressão mais geral para ${\displaystyle \Omega }$ no caso de que este parâmetro de densidade de energia seja exatamente igual à unidade. Então é uma questão de medir os diferentes componentes, normalmente designados por sub-índices. De acordo com o modelo Lambda-CDM, há importantes componentes de ${\displaystyle \Omega }$ devido a bárions, matéria escura fria e energia escura. A geometria do espaço-tempo foi medida pelo satélite WMAP estando próxima de ser uma geometria plana, o que quer dizer, que o parâmetro de curvatura ${\displaystyle K}$ é aproximadamente zero.

A primeira equação de Friedmann frequentemente se escreve formalmente com os parâmetros de densidade.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$

Onde, ${\displaystyle \Omega _{R}}$ é a densidade de radiação atual, ${\displaystyle \Omega _{M}}$ é a densidade da matéria (escura mais a bariónica) atual e ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ é a constante cosmológica ou a densidade do vazio atual.

Equação de Friedmann reescalada

Estabelecendo ${\displaystyle a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}}$ onde ${\displaystyle a_{0}}$ e ${\displaystyle H_{0}}$ são em separado o fator de escala e o parâmetro de Hubble atuais. Então podemos dizer que:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

onde ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2}$. Para qualquer forma do potencial efetivo ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})}$, há uma equação de estado ${\displaystyle p=p(\rho )}$ que a produzirá.

Ver também