Ponte browniana

Uma ponte browniana é um processo estocástico ${\displaystyle B(t)}$ de tempo contínuo cuja distribuição de probabilidade é a distribuição de probabilidade condicional de um processo de Wiener ${\displaystyle W(t)}$ (um modelo matemático do movimento browniano) sujeito à condição de que ${\displaystyle W(T)=0}$, de modo que o processo esteja fixado na origem tanto em ${\displaystyle t=0}$, como em ${\displaystyle t=T}$.^[1] Mais precisamente,

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

O valor esperado da ponte é zero, com variância ${\displaystyle {\frac {t(T-t)}{T}}}$, implicando que a maior incerteza está no meio da ponte, com zero incerteza nos nós. A covariância de ${\displaystyle B(s)}$ e ${\displaystyle B(t)}$ é ${\displaystyle s(T-t)/T}$ se ${\displaystyle s<t}$. Os incrementos na ponte browniana não são independentes

Relação com outros processos estocásticos

Se ${\displaystyle W(t)}$ for um processo de Wiener padrão, isto é, se para ${\displaystyle t\geq 0}$, ${\displaystyle W(t)}$ for normalmente distribuído com valor esperado 0 e variância ${\displaystyle t}$ e os incrementos forem estacionários e independentes, então

${\displaystyle B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,}$

é uma ponte browniana para ${\displaystyle t\in [0,T]}$. Isto é independente de ${\displaystyle W(T)}$.^[2]

Reciprocamente, se ${\displaystyle B(t)}$ for uma ponte browniana e ${\displaystyle Z}$ for uma variável aleatória normal padrão independente de ${\displaystyle B}$, então o processo

${\displaystyle W(t)=B(t)+tZ\,}$

é um processo de Wiener para ${\displaystyle t\in [0,1]}$. De forma mais generalizada, um processo de Wiener ${\displaystyle W(t)}$ para ${\displaystyle t\in [0,T]}$ pode ser decomposto em

${\displaystyle W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.}$

Outra representação da ponte browniana baseada no movimento browniano é, para ${\displaystyle t\in [0,T]}$,

${\displaystyle B(t)=(T-t)W\left({\frac {t}{T-t}}\right).}$

Reciprocamente, para ${\displaystyle t\in [0,\infty ]}$,

${\displaystyle W(t)=(T+t)B\left({\frac {t}{T+t}}\right).}$

A ponte browniana pode também ser representada como uma série de Fourier com coeficientes estocásticos, conforme

${\displaystyle B_{t}=\sum _{k=T}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}}$

em que ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},...}$ são variáveis aleatórias normais padrão independentes e identicamente distribuídas, como exposto pelo teorema de Karhunen-Loève.

Uma ponte browniana é o resultado do teorema de Donsker na área dos processos empíricos. Também é usado no teste Kolmogorov–Smirnov na área de inferência estatística.

Considerações intuitivas

Um processo de Wiener padrão satisfaz a condição ${\displaystyle W(0)=0}$, sendo portanto "amarrado" à origem, mas os outros pontos não são restritos. Em um processo de ponte browniana , por outro lado, não só ${\displaystyle B(0)=0}$, mas também se exige que ${\displaystyle B(T)=0}$, isto é, que o processo esteja "amarrado" em ${\displaystyle t=T}$ da mesma forma. Assim como uma ponte é sustentada por pilares nos dois extremos, exige-se que uma ponte browniana satisfaça condições nos dois extremos do intervalo ${\displaystyle [0,T]}$. Em uma ligeira generalização, exige-se que ${\displaystyle B(t_{1})=a}$ e ${\displaystyle B(t_{2})=b}$, em que ${\displaystyle t_{1}}$, ${\displaystyle t_{2}}$, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são constantes conhecidas.^[3]

Suponha que foi gerada uma quantidade de pontos ${\displaystyle W(0)}$, ${\displaystyle W(1)}$, ${\displaystyle W(2)}$, ${\displaystyle W(3)}$${\displaystyle ,...,}$ de um caminho de processo de Wiener por simulação de computador. Deseja-se preencher espaços com pontos adicionais no intervalo ${\displaystyle [0,T]}$, isto é, fazer a interpolação entre os pontos já gerados ${\displaystyle W(0)}$ e ${\displaystyle W(T)}$. A solução é usar uma ponte browniana, da qual se exige que vá pelos valores ${\displaystyle W(0)}$ e ${\displaystyle W(T)}$.

Caso geral

Para o caso geral em que ${\displaystyle B(t_{1})=a}$ e ${\displaystyle B(t_{2})=b}$, a distribuição de ${\displaystyle B}$ no tempo ${\displaystyle t\in (t_{1},t_{2})}$ é normal, com média

${\displaystyle a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)}$

e covariância entre ${\displaystyle B(s)}$ e ${\displaystyle B(t)}$, com ${\displaystyle s<t}$,

${\displaystyle {\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.}$^[3]

Referências