Em matemática, se
é um conjunto de números reais e
é uma função de
em
, diz-se que uma função
de
em
é uma primitiva ou antiderivada de
se a derivada de
for igual a
. Se f tiver uma primitiva, diz-se que
é primitivável. Pode-se provar que, se
for um intervalo com mais do que um ponto:[1][2]
- quaisquer duas primitivas diferem por uma constante, ou seja, se F1 e F2 forem primitivas de
, então F1 − F2 é constante; - se
for contínua então f é primitivável, o que resulta do teorema fundamental do cálculo.
Quando se primitiva uma função num intervalo (aberto, fechado ou semiaberto) obtém-se uma família de primitivas na forma:[3]
Primitivas básicas
Para fazer primitivas básicas de uma função é preciso ter o domínio de derivadas, pois este fato é preponderante, tendo uma função
na qual sua primitiva básica será uma função
, em que
é uma constante, a derivada de
terá como resultado a função
, pode-se concluir que
O uso de primitivas básicas é muito importante porque seus conceitos são de extrema relevância para o teorema fundamental do cálculo.
Existem várias primitivas básicas, dentre as quais:
1- a função
em que n ≠ -1, sua primitiva geral é
2-
ou
, então
é a primitiva geral de f(x),pois
3 -seja
, então
é a primitiva geral, pois
4 -se
, sua primitiva geral será
+, pois
5- a função
, sua primitiva geral é
6- se
, sua primitiva geral
7 -
, primitiva geral é
8 - se
, sua primitiva geral é
9-
, sua primitiva geral é
10 - a função
, sua primitiva geral é
11-seja
,
ou
, suas primitivas são
,
e
Exemplo no cálculo de uma primitiva
1)
![{\displaystyle f(x)={x^{(2+1)} \over {(2+1)}}+C={X^{3} \over 3}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0674bdfc4c4dcdb5e0edf14c71c678b3a9aa1f2)
2)
![{\displaystyle g(x)=\tan(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67731b4874d98eced7e7cf73ad776484f288fa6d)
3)
![{\displaystyle h(x)-k(x)=e^{x}-\sin(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/097ada30c7ea856b150180dab001ab0417f07c07)
4)
, sua primitiva geral é
, sua primitiva geral é ![{\displaystyle z(x)-h(x)=\sin(x)-e^{x}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9d3ca28e6832714efb2c1f56c7d15fc480eae8)
, sua primitiva geral é
[4]
4)
- Usaremos os métodos da primitivação por substituição e da primitivação por partes.
- Façamos a seguinte substituição:
![{\displaystyle {\sqrt {x}}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bcd09b589c0aeca26d2b42a490429c7d693e99)
- Temos então que:
![{\displaystyle x=t^{2}\ \ {\frac {dx}{dt}}=2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bd204075e21e29b9be50dedb40de4a94d0fafe)
- Substituindo ficamos então com:
![{\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=Psen{(t)}2t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2952f0df81a9fadd5e2b50d0e8e226a0b622049b)
- Aplicamos agora a primitivação por partes
![{\displaystyle u'=sen{t}\ \ u=-cos{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417557c5f9b3ce88447b495bc7d2fad5538ca6f3)
![{\displaystyle v=2t\ \ v'=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bab3179028c738b2c427d4ac366c692237fdb7e)
![{\displaystyle Psen{(t)}2t=-cos(t)2t-P2(-cos(t))=-cos(t)2t+2Pcos(t)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fb0402c18602eeb94cd74c79c588e4297e3889)
![{\displaystyle =-cos(t)2t+2.sen(t)+C=2(-t.cos(t)+sen(t))+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93216aacc2cf4567222cb11723566551f3230e77)
- fazendo agora a substituição inicial
temos o resultado final:
![{\displaystyle Psen{\sqrt {x}}=2(-{\sqrt {x}}.cos{\sqrt {x}}+sen{\sqrt {x}})+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944ca3cdbe603d97bcdfc82efd965c2b6ba788c6)
Ver também
Referências
- ↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals 6th ed. [S.l.]: Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5 Verifique o valor de
|url-access=registration
(ajuda) - ↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus 9th ed. [S.l.]: Brooks/Cole. ISBN 0-547-16702-4
- ↑ STEWART, james. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Tradução de: EZ2 Translate.
- ↑ STEWART, james. Cálculo. 7. ed. sp: Cengage Learning, 2013. Tradução de: EZ2 Translate.
Ligações externas
- «Cálculo de primitivas online (The Wolfram Integrator)»
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