Produto de inércia

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Em mecânica clássica, o produto de inércia mede a anti-simetria da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. A unidade de medida do produto de inércia no Sistema Internacional de Unidades é ${\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}$ .

Corpos rígidos com densidade variável

Em um corpo rígido os produtos de inércia são as componentes do tensor de inércia que localizam-se fora da diagonal principal. $\left\{{\tilde {\mathbf {I} }}\right\}_{ij}\equiv I_{ij}~~i\neq j$

Suponha um corpo rígido que possua massa $M$ , contenha $N$ partículas e seja descrito em um sistema com $p$ coordenadas, o tensor de inércia é dado por

$I_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}m_{\alpha }\left(\delta _{i}^{j}\sum _{n=1}^{p}x_{\alpha ,n}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)~~~(1)$

então para $i\neq j$

as componentes do tensor tornam-se

$I_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)=-\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\equiv -\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)x_{m,n,..,q}^{i}x_{m,n,...,q}^{j}~~~(2)$

onde $\rho \left({\vec {x}}\right)=\rho$ é a densidade de massa.

$M=\sum _{\alpha }m_{\alpha }=-\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)~~~(3)$

Separando-se a função em partições $\wp$ e fazendo a norma da partição ficar pequena o suficiente obtém-se

$\lim _{\|\wp \|\to 0}-\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)x_{m,n,..,q}^{i}x_{m,n,...,q}^{j}=-\iint ...\int \rho \left({\vec {x}}\right)x^{i}x^{j}d^{q}x~~~~~(4)$

(note que $x^{i}x^{j}\equiv x_{i}x_{j}$ )

utilizando o lado esquerdo da Equação (2) com o mesmo argumento que usamos para chegar à integral q-upla em (4), obtemos o mesmo resultado.

$\lim _{\|\wp \|\to 0}-\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)=-\int x^{i}x^{j}dm\equiv -\int x_{i}x_{j}dm~~~(5)$

que é o produto de inércia no referido sistema de coordenadas. Para o sistema de coordenadas cartesiano, por exemplo, a integral acima se reduz à uma integral de volume (tripla)

I_{ij}=\int \limits _{C}x_{i}x_{j}\,dm\equiv \iiint \limits _{Q}x_{i}x_{j}\rho (x_{1},x_{2},x_{3})d^{3}x~~~(6)

Eixos principais de inércia

Fixando-se arbitrariamente uma origem O em qualquer sistema material S, existe um referencial ortogonal Oxyz tal que:

I_{xy}=I_{yz}=I_{zx}\,\!

Estes eixos são denominados eixos principais de inércia em relação a origem ${\mathcal {O}}$ .

Caso ${\mathcal {O}}$ seja coincidente com o centro de gravidade ${\vec {g}}_{_{eff}}$ , os eixos principais de inércia são também chamados de eixos centrais de inércia.