Teorema de Steinhaus

Em matemática, o teorema de Steinhaus é um importante resultada da teoria da medida.

Enunciado

Seja S {\displaystyle S\,} um subconjunto dos números reais com medida de Lebesgue positiva então a diferença S − S := { x − y : x , y ∈ S } {\displaystyle S-S:=\{x-y:x,y\in S\}\,} contém uma vizinhança da origem.

Lema

Seja S {\displaystyle S\,} um conjunto mensurável à Lebesgue com a seguinte propriedade de densidade:

μ ( S ∩ [ a , b ] ) ≤ ρ ( b − a ) {\displaystyle \mu (S\cap [a,b])\leq \rho (b-a)}

onde 0 ≤ ρ < 1 {\displaystyle 0\leq \rho <1\,} Então S {\displaystyle S\,} tem conjunto de medida zero.

Suponha, por absurdo, que S {\displaystyle S\,} tem medida positiva. Fixe 1 < k < 1 ρ {\displaystyle 1<k<{\frac {1}{\rho }}\,}

Pela definição de medida de Lebesgue, existem intervalos { ( a n , b n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{\infty }\,} tais que:

⋃ n = 1 ∞ ( a n , b n ) ⊇ S ⟹ S = ⋃ n = 1 ∞ S ∩ ( a n , b n ) {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }(a_{n},b_{n})\supseteq S\Longrightarrow S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S\cap (a_{n},b_{n})\,}
∑ n = 1 ∞ ( b n − a n ) ≤ k μ ( S ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})\leq k\mu (S)\,}

Portanto: μ ( S ) ≤ ∑ n = 1 ∞ μ ( S ∩ ( a n , b n ) ) ≤ ∑ n = 1 ∞ ρ ( b n − a n ) ≤ ρ k μ ( S ) < μ ( S ) {\displaystyle \mu (S)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(S\cap (a_{n},b_{n})\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\rho (b_{n}-a_{n})\leq \rho k\mu (S)<\mu (S)\,} , uma contradição.

Demonstração

Escolha a {\displaystyle a\,} e b {\displaystyle b\,} tal que μ ( [ a , b ] ∩ S ) > 3 4 ( b − a ) {\displaystyle \mu \left([a,b]\cap S\right)>{\frac {3}{4}}(b-a)\,} , defina E := [ a , b ] ∩ S {\displaystyle E:=[a,b]\cap S\,} e:

F := E − E {\displaystyle F:=E-E\,}

Vamos mostrar que F {\displaystyle F\,} contém uma vizinhança da origem. Suponha por absurdo que não, ou seja, para todo δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,} , existe x {\displaystyle x\,} tal que | x | < δ {\displaystyle |x|<\delta \,} e x ∉ F {\displaystyle x\notin F\,}

Isso significa que E ∩ ( E + x ) = ∅ {\displaystyle E\cap (E+x)=\emptyset \,}

Podemos estimar: μ ( E ) = μ ( E ∩ ( E + x ) ) + μ ( E ∩ ( E + x ) c ) ≤ μ ( [ a , b ] ∖ ( E + x ) ) ≤ ( b − a ) − μ ( E ) + δ {\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cap (E+x))+\mu (E\cap (E+x)^{c})\leq \mu ([a,b]\backslash (E+x))\leq (b-a)-\mu (E)+\delta \,}

Equivalente a: μ ( E ) ≤ ( b − a ) + δ 2 {\displaystyle \mu (E)\leq {\frac {(b-a)+\delta }{2}}\,} , uma contradição se escolhermos δ {\displaystyle \delta \,} suficientemente pequeno.

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