Teste da raiz

O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, ele é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e permite estabelecer o raio de convergência de uma série de Taylor

Enunciado

Seja ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} uma série numérica e a constante k {\displaystyle k} definida pelo limite:

  • k = lim n → ∞ | a n | n {\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}

Então:

  • Se k < 1 {\displaystyle k<1} , a série converge absolutamente
  • Se k > 1 {\displaystyle k>1} ou k = 1 + {\displaystyle k=1^{+}} , a série não converge
  • Se k = 1 − {\displaystyle k=1^{-}} , nada se pode concluir

No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k {\displaystyle k} por:

  • k = lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}

Exemplo

Considere a série dada por:

  • ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}
k = lim n → ∞ n 2 2 n n = 1 2 lim n → ∞ n 2 n = 1 2 < 1 {\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{2}}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n^{2}}}={\frac {1}{2}}<1}

Portanto a série converge.

Exemplo 2

Considere a série dada por:

  • ∑ n = 0 ∞ 2 n ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n(-1)^{n}}}
k = lim n → ∞ | 2 n ( − 1 ) n | n = lim n → ∞ | ( 2 ( − 1 ) n ) n | n = lim n → ∞ | 2 ( − 1 ) n | n n = {\displaystyle k=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{n(-1)^{n}}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|(2^{(-1)^{n}})^{n}|}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|2^{(-1)^{n}}|^{n}}}=}
= lim n → ∞ | 2 ( − 1 ) n | = lim n → ∞ b n {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{|2^{(-1)^{n}}|}=\lim _{n\to \infty }b_{n}} , em que:
b n = { 2 , se n par 1 2 , se n ímpar  {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}2,&{\mbox{se n par}}\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{se n ímpar }}\end{cases}}}

Então b n {\displaystyle b_{n}} não tem limite, ou seja, lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}} não existe.

Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos

k = lim sup n → ∞ | a n | n = lim sup n → ∞ ( b n ) = 2 > 1 {\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }(b_{n})=2>1}

Como 2 > 1 {\displaystyle 2>1} a série é divergente.

Demonstração para k<1

Seja:

k = lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}

Escolha ε = 1 − k 2 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1-k}{2}}} Como k < 1 {\displaystyle k<1} , ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} e, portanto, existe um N > 0 {\displaystyle N>0} tal que:

| a n | n < k + ε ,     n > N {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon ,~~n>N}

De forma que:

| a n | n < k + ε < k + 1 − k 2 = 1 + k − 1 2 = 1 − ε < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<k+\varepsilon <k+{\frac {1-k}{2}}=1+{\frac {k-1}{2}}=1-\varepsilon <1}

Assim, | a n | < ( 1 − ε ) n , n > N {\displaystyle |a_{n}|<(1-\varepsilon )^{n},n>N} e o teste da comparação nos permite concluir que a série converge, comparando-a com a série geométrica de razão q = 1 − ε < 1 {\displaystyle q=1-\varepsilon <1}

Demonstração para k>1

Se k = lim sup n → ∞ | a n | n > 1 {\displaystyle k=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1} , então existe u > 1 e uma subseqüência { a n j } j = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n_{j}}\}_{j=1}^{\infty }} tal que:

| a n j | n j ≥ u ,     ∀ j = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle {\sqrt[{n_{j}}]{|a_{n_{j}}|}}\geq u,~~\forall j=1,2,3,\ldots }

E imediatamente:

| a n j | ≥ u n j ,     ∀ j = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle |a_{n_{j}}|\geq u^{n_{j}},~~\forall j=1,2,3,\ldots }

E portanto, lim sup n → ∞ | a n | = ∞ {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }|a_{n}|=\infty }

Pelo teste da divergência, a série não pode convergir.

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