Raportul dintre (ln n!) şi (n ln n − n) se apropie de unitate când n creşte. În analiza matematică, formula lui Stirling permite calculul aproximativ al factorialului:
![{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\cdot n^{n}\cdot e^{-n}+{\frac {\theta _{n}}{12n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a2b5622f5b302b1a0f8917a00cb49ab3f1504e5)
unde
este un număr stabilit de James Stirling.
Această formulă este echivalentă cu:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{(n+1/2)}e^{-n}}}={\sqrt {2\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842528df85e3652ecfd558b2cebe5dbc946352a3)
Demonstrație
Conform unei proprietăți a logaritmilor:
![{\displaystyle \log {n!}=\log 1+\log 2+\cdots +\log n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b3fd374d2c9fd9a9f1520e4060ceca96f2d73f)
Deoarece funcția logaritm este crescătoare pe
![{\displaystyle \int _{n-1}^{n}\log x\;dx<\log n<\int _{n}^{n+1}\log x\;dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3a187949bfed9ae76095f1179406dca8921ea6)
pentru
Se scrie această dublă inegalitate pentru
și se adună membru cu membru. Rezultă:
![{\displaystyle \int _{0}^{N}\log x\;dx<\log {(N!)}<\int _{1}^{N+1}\log x\;dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a64e9b0c42d73dcd7053fc57f1a8649fa08f01c)
Se calculeaza cele doua integrale folosind formula de integrare prin parti, astfel:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}\log x\;dx=\int _{a}^{b}x'\log x\;dx=b\log b-a\log a+a-b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c374aa2ba9ea49ad0980c083b1ef3b90d245d701)
Se aplica formula de mai sus pentru a = 0 si b = N, respectiv a = 1 si b = N + 1, obținandu-se:
![{\displaystyle n\log n-n<\log {(n!)}<(n+1)\log {(n+1)}-n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b826fefae658238be15863ecbfcd707c565dc786)
Fie:
![{\displaystyle d_{n}=\log {(n!)}-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log n+n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e13c2cafcafd09dd6b8b60ab9f6051f3c0486a3)
Se poate obține:
![{\displaystyle d_{n}-d_{n+1}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\log {\frac {n+1}{n}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094cdcc13bb4fff6af177a801d431fca3c1ce768)
și apoi:
![{\displaystyle {\frac {n+1}{n}}={\frac {1+{\frac {1}{2n+1}}}{1-{\frac {1}{2n+1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43683ce3dd17aa7818953bd2d6338c06e7ef02ca)
Utilizând dezvoltarea în serie Taylor, se obține:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left({\frac {1+t}{1-t}}\right)=t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{5}}t^{5}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877c61e23c3e55e1bc4570485efa0926bd51a514)
Pentru
se poate scrie:
![{\displaystyle d_{n}-d_{n+1}={\frac {1}{3}}{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{(2n+1)^{4}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1569fa0fc43be1392b0c8a0d489d40bb12e48e5a)
Aceasta implică:
![{\displaystyle 0<d_{n}-d_{n+1}<{\frac {1}{3}}{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{(2n+1)^{4}}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b925862bf1a93d7b244953d50dbc77ea74969d)
Luând în considerare proprietățile seriilor geometrice:
![{\displaystyle 0<d_{n}-d_{n+1}<{\frac {1}{3}}{\frac {1}{(2n+1)^{2}-1}}={\frac {1}{12}}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983d952187478a5ae611b31cac04c342d103866b)
Deci șirul
este descrescător, iar șirul
este descrescător. Rezultă că
este convergent către o limită C cu proprietatea:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d_{n}=\lim _{n\to \infty }d_{n}-{\frac {1}{12n}}=\mathbf {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b8f0b82d6c4c83a7e9447c4e7a874b023740d2)
unde
![{\displaystyle C>d_{1}-{\frac {1}{12}}=1-{\frac {1}{12}}={\frac {11}{12}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7c31811c0d7ea46f88a1795bba7a6b70fdbee7)
Utilizând funcția exponențială, se obține:
![{\displaystyle \lim _{n\to infty}{\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}=c^{C}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d5ec568da82c1b847f667a8978ff20bf617ec3)
Rămâne de demonstrat că
Se utilizează formula lui Wallis:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot \cdots \cdot (2n)\cdot (2n)}{1\cdot 1\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2n-1)\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}}={\frac {\pi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4501317a5114964120cd44bb4b976de305ba751b)
care poate fi scrisă:
![{\displaystyle {\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (2n)}{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)\cdot {\sqrt {2\pi }}}}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafd1b9f5cbe29f4f1b1e8835698502dd5781b5c)
adică:
![{\displaystyle {\frac {(2^{n}n!)^{2}}{(2n)!}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b548de4da85991bdb12d079f45819da2806176)
Utilizând formula de mai sus:
![{\displaystyle n!\sim n^{n+1/2}\cdot e^{-n}\cdot e^{C},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869ddfeac42a8b16cefe0199348c4e56d1033d11)
se obține:
![{\displaystyle {\frac {2^{2n}(n^{2n+1}\cdot e^{-2n}\cdot e^{2C})}{(2n)^{2n+1/2}\cdot e^{-2n}\cdot e^{C}}}{\frac {1}{\sqrt {2n}}}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeab4b959bb7ad6abbed5bc9e462c57c4a597c53)
Rezultă:
![{\displaystyle e^{C}\sim {\sqrt {2\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb6cc24cb6f9e9d992699107c44cbe96c45e73f)
adică:
![{\displaystyle e^{C}={\sqrt {2\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a177a24e9da7a129064777d640d449e12fb1a4)
ceea ce trebuia demonstrat.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg/30px-Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg.png) | Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui. |