Inegalitatea triunghiului

Inegalitatea triunghiului exprimă sub o formă matematică ideea că drumul drept este drumul cel mai scurt dintre două puncte.

Enunț

Într-un triunghi ABC, suma lungimilor laturilor AC și CB este totdeauna mai mare sau cel puțin egală cu lungimea celei de a treia laturi, AB. Situația de egalitate este valabilă doar în cazul special, când triunghiul ABC degenerează, încât laturile AC și CB devin segmente parțiale ale laturii a treia, AB.

Geometrie

Într-un plan euclidian, în orice triunghi ABC lungimile AB, AC și CB verifică inegalitatea :

${\displaystyle AB\leqslant AC+CB}$

Două proprietăți completează această inegalitate:

• ${\displaystyle |AC-CB|\leqslant AB}$
• ${\displaystyle AB=AC+CB\Leftrightarrow C\in [AB]}$

Numere complexe

Utilizând reprezentarea complexă a planului euclidian, notăm:

${\displaystyle x={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {AC}}}$

${\displaystyle y={\text{afixul lui }}{\overrightarrow {CB}}}$

Obținem această formulare echivalentă:

Pentru ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}}$, avem :

• ${\displaystyle {\Big |}|x|-|y|{\Big |}\leqslant |x+y|\leqslant |x|+|y|}$
• ${\displaystyle |x+y|=|x|+|y|\Longleftrightarrow \exists (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} _{+}^{2}-\{(0,0)\},\ \lambda x=\mu y}$

Considerente axiomatice

Fie mulțimea E și ${\displaystyle d:E\times E\rightarrow \mathbb {R} }$. Spunem că d este o distanță pe E dacă:

• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2},\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\ d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)}$

Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.