Integrala Fresnel

Integralele lui Fresnel, S ( x ) {\displaystyle S(x)} și C ( x ) {\displaystyle C(x)} , sunt funcții speciale, introduse în optică de inginerul Augustin-Jean Fresnel pentru a studia fenomenele de difracție.

Definiție

S ( x ) := ∫ 0 x sin ⁡ ( π 2 t 2 ) d t {\displaystyle S(x):=\int _{0}^{x}\sin \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt}
C ( x ) := ∫ 0 x cos ⁡ ( π 2 t 2 ) d t {\displaystyle C(x):=\int _{0}^{x}\cos \left({\frac {\pi }{2}}t^{2}\right)dt}

Proprietăți

lim x → + ∞ S ( x ) = lim x → + ∞ C ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }S(x)=\lim _{x\to +\infty }C(x)={\frac {1}{2}}}
C ( i z ) = i C ( z ) {\displaystyle C(iz)=iC(z)}
S ( i z ) = − i S ( z ) {\displaystyle S(iz)=-iS(z)}

Relațiile cu alte funcții speciale

C ( z ) + i S ( z ) = z M ( 1 2 , 3 2 , i π 2 z 2 ) , {\displaystyle C(z)+iS(z)=zM\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},i{\frac {\pi }{2}}z^{2}\right),}

unde M {\displaystyle M} este funcția hipergeometrică confluentă⁠(en)[traduceți].

Relația cu funcția erorilor⁠(en)[traduceți] este:

C ( z ) + i S ( z ) = 1 + i 2 e r f [ π 2 ( 1 − i ) z ] {\displaystyle C(z)+iS(z)={\frac {1+i}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(1-i)z\right]}

Bibliografie

  • en M. Abramowitz e I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (Dover, New York, 1972) p. 300
  • en P. Drude, Theory of Optics, (Longmans, Green, and Co., New York, 1902) p. 188-203

Legături externe

  • Integrala Fresnel S(x) pe functions.wolfram.com
  • Integrala Fresnel C(x) pe functions.wolfram.com
  • Integralele lui Fresnel MathWorld