Matricea lui Cauchy

Matricea lui Cauchy este o matrice A de tip m × n {\displaystyle m\times n} , cu elementele de forma:

a i j = 1 x i − y j ; x i − y j ≠ 0 , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}

A = [ 1 x 1 − y 1 1 x 1 − y 2 … 1 x 1 − y n 1 x 2 − y 1 1 x 2 − y 2 … 1 x 2 − y n … … … 1 x m − y 1 1 x m − y 2 … 1 x m − y n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}{\frac {1}{x_{1}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{1}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{1}-y_{n}}}\\{\frac {1}{x_{2}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{2}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{2}-y_{n}}}\\\dots \dots \dots \\{\frac {1}{x_{m}-y_{1}}}&{\frac {1}{x_{m}-y_{2}}}&\dots &{\frac {1}{x_{m}-y_{n}}}\end{bmatrix}}}


Determinantul lui Cauchy

Pentru cazul particular m = n {\displaystyle m=n} , determinantul matricii este:

det A = ∏ i = 2 n ∏ j = 1 i − 1 ( x i − y j ) ( y j − y i ) ∏ i = 1 n ∏ j = 1 n ( x i − y j ) {\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-y_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}

Proprietăți

  • Determinantul lui Cauchy este nenul și astfel orice matrice pătrată de tip Cauchy este inversabilă. Inversa este A-1=B = [bij] dată de:
b i j = ( x j − y i ) A j ( y i ) B i ( x j ) {\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}

unde Ai(x) și Bi(x) sunt polinoamele lui Lagrange pentru ( x i ) {\displaystyle (x_{i})} , respectiv y j {\displaystyle y_{j}} .

Generalizare

Bibliografie

  • Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
  • A. Gerasoulis - A Fast Algorithm for the Multiplication of Generalized Hilbert Matrices with Vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, pp. 179-188

Vezi și

  • Matricea lui Toeplitz
  • Matrice circulantă

Legături externe

{{Portal|Matematică))

  • en Matricea lui Cauchy la PlanetMath Arhivat în , la Wayback Machine.