Transformarea lui Abel

În matematică, transformarea lui Abel este o transformare de tipul:

∑ k = 1 n a k b k = a N B N − a 1 B 0 − ∑ k = 1 n B k ( a k + 1 − a k ) , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{N}B_{N}-a_{1}B_{0}-\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k+1-a_{k}}),\!}

unde a k , b k {\displaystyle a_{k},b_{k}\!} sunt dați, B 0 {\displaystyle B_{0}\!} ales arbitrar iar:

B k = B k − 1 + + b k = B 0 + b 1 + b 2 + ⋯ + b k , k = 1 , 2 , ⋯ , N . {\displaystyle B_{k}=B_{k-1}++b_{k}=B_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{k},\;\;k=1,2,\cdots ,N.\!}

Transformarea lui Abel este analogia în matematica discretă a integrării prin părți.

Dacă a N → 0 {\displaystyle a_{N}\rightarrow 0\!} și orice șir { B k } {\displaystyle \{B_{k}\}\!} este mărginit, atunci transformarea lui Abel poate fi aplicată seriei:

∑ k = 1 ∞ a k b k = ∑ k = 1 ∞ ( a k − a k + 1 ) B k − a 1 B 0 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}-a_{k+1})B_{k}-a_{1}B_{0}.\!}

Poartă numele matematicianului Niels Henrik Abel.

Transformarea lui Abel este utilizată pentru a demonstra mai multe criterii de convergență ale seriilor de numere (cum ar fi criteriul lui Abel). Rezultatul transformării este o serie cu aceeași sumă, dar mai rapid convergentă.

Transformarea lui Abel mai este utilizată și la realizarea unor estimări asupra ratei de convergență a unei serii (vezi: Inegalitatea lui Abel).