Analitička teorija brojeva

U matematici, analitička teorija brojeva je grana teorije brojeva koja koristi metode matematičke analize za rešavanje problema na celim brojevima.^[1] Često se kaže da je započeta sa Dirihleovim radom iz 1837. godine kojim je uveo Dirihleovu L-funkciju kako bi se dobio prvi dokaz Dirihleove teoreme o aritmetičkim progresijama.^[1][2] Analitička teorija brojeva je poznato po rezultatima na prostim brojevima (koji uključuju teoremu prostih brojeva i Rimanovu zeta funkciju) i aditivnoj teoriji brojeva (kao što je Goldbahova hipoteza i Varingov problem).

Grane analitičke teorije brojeva

Analitička teorija brojeva se može podeliti na dva glavna dela, podeljena više prema vrsti problema koje pokušava da reši, nego po fundamentalnim razlikama u tehnici.

• Multiplikativna teorija brojeva se bavi raspodelom prostih brojeva, kao što je procena broja prostih brojeva u datom intervalu. Ona obuhvata teoremu prostih brojeva i Dirihleovu teoremu prostih brojeva u aritmetičkim progresijama.
• Aditivna teorija brojeva se bavi aditivnom strukturom celih brojeva, kao što je Goldbahova hipoteza prema kojoj je svaki parni broj veći od 2 zbir dva prosta broja. Jedan od glavnih rezultata teorije aditivnih brojeva je rešenje Varingovog problema.

Istorija

Prekurzori

Veliki deo analitičke teorije brojeva je bio inspirisan teoremom prostih brojeva. Neka je π(x) funkcija raspodele prostih brojeva, koja daje broj prostih brojeva manji ili jednak sa x, za bilo koji realni broj x. Na primer, π(10) = 4, jer postoje četiri prosta broja (2, 3, 5 i 7) manja ili jednaka od 10. Teorema prostih brojeva navodi da je x / ln(x) dobra aproksimacija za π(x), u smislu da je limes kvocijenta dve funkcije π(x) i x / ln(x) kada se x približava beskonačnosti jednak 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

poznato je kao asimptotski zakon raspodele prostih brojeva.

Dirihle

Johan Peter Gustav Ležen Dirihle je zaslužan za stvaranje analitičke teorije brojeva,^[3] polja u kome je pronašao nekoliko suštinskih rezultata, i u čijem dokazivanju je uveo neke fundamentalne alate, mnogi od kojih su kasnije dobili ime po njemu. Godine 1837, on je objavio Dirihleovu teoremu o aritmetičkim progresijama, koristeći koncepte matematičke analize pri rešavanju algebarskog problema i tako je stvorio disciplinu analitičke teorije brojeva. Dokazujući teoremu, on je uveo Dirihleove karaktere i L-funkcije.^[3][4] Godine 1841, on je generalizovao svoju aritmetičku teoremu progresije od celih brojeva do prstena Gausovih celih brojeva ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$.^[5]

Reference

Literatura

Spoljašnje veze