Absolutbelopp

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2019-11) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Absolutbeloppet, ibland kallat absolutvärdet eller beloppet av ett tal x betecknas |x| och är ett positivt reellt tal eller noll och kan ges den geometriska tolkningen som ett tals avstånd till origo eller 0-punkten i det fall talet kan representeras på tallinjen.

Absolutbeloppet av ett reellt tal x definieras av

${\displaystyle |x|=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.}$

Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi definieras av

${\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(se kvadratrot och komplexkonjugat.)

För en vektor v = (x₁, x₂,..., x_n), kallas ibland vektorns längd för vektorns absolutbelopp eller belopp:

${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}}$

Längden av en vektor kallas dock ofta dess norm och betecknas ${\displaystyle ||\mathbf {\bar {v}} ||}$.

Egenskaper

Om a och b är komplexa tal gäller att

1. ${\displaystyle |a|\geq 0}$
2. ${\displaystyle |a|=0\Leftrightarrow a=0}$
3. ${\displaystyle |ab|=|a||b|\,}$
4. ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$
5. ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$ (triangelolikheten)
6. ${\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}$ (omvända triangelolikheten)
7. ${\displaystyle |a|={\sqrt {aa^{*}}}}$, där a^* är det komplexkonjugerade värdet av a

Om a och b är reella gäller även

8. ${\displaystyle |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b,b\geq 0}$

Exempel

${\displaystyle \ |5|=5}$

${\displaystyle \ |-5\,|=5}$

${\displaystyle \ |\,1+\mathrm {i} \,|={\sqrt {2}}}$

Se även

• Norm (matematik)

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Absolutbelopp.
  Bilder & media