Algebraisk struktur

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

En algebraisk struktur består inom den abstrakta algebran av en mängd tillsammans med en eller flera operatorer definierade för elementen i mängden och ett antal axiom för dessa operatorer. Om det inte finns risk för missförstånd betecknas vanligtvis den algebraiska strukturen på samma sätt som mängden. Som exempel betecknas vanligtvis en grupp (G,*) helt enkelt som gruppen G.

Egenskaperna av specifika algebraiska strukturer studeras i abstrakta algebran. Den allmänna teorin av algebraiska strukturer har formaliserats i universal algebra. Kategoriteori används till att studera relationerna mellan två eller fler klasser av algebraiska strukturer. Exempelvis undersöker Galoisteori sambanden mellan vissa kroppar och grupper, två olika slags algebraiska strukturer.

Beroende på operatorerna och axiomen får de algebraiska strukturerna sina namn. Följande är en partiell lista på algebraiska strukturer:

Magma: en mängd med endast en binär operator
Kvasigrupp: en magma i vilken division alltid är möjlig
Loop: en kvasigrupp med ett neutralt element
Semigrupp: en associativ magma
Monoid: en semigrupp med ett neutralt element
Grupp: en monoid i vilken varje element har en invers, eller ekvivalent en associativ loop
Abelsk grupp: en kommutativ grupp
Ring: En mängd med en abelsk gruppoperator som addition tillsammans med en monoidoperator som multiplikation, lydande under distributivitet.
Kropp: en ring i vilken alla från noll skilda element formar en abelsk grupp under multiplikation
Modul över en given ring R: en mängd med en abelsk gruppoperator som addition tillsammans med en additiv unär operator kallad skalär multiplikation för varje element i R, med ett associativitetsvillkor som länkar skalär multiplikation med multiplikation i R
Vektorrum: en modul över en kropp
Algebra: en modul eller ett vektorrum tillsammans med en bilinjär operator som multiplikation
Associativ algebra: en algebra vars multiplikation är associativ
Kommutativ algebra: en associativ algebra vars multiplikation är kommutativ
Gitter: en mängd med två kommutativa, associativa och idempotenta operatorer, vilka lyder under absorptionslagen