Dedekinds etafunktion

Dedekinds η-funktion i komplexa planet.

Inom matematiken är Dedekinds etafunktion, uppkallad efter Richard Dedekind, en viss modulär form av vikt 1/2. För komplexa tal τ med positiv imaginär del låtq = exp(2πiτ). Då definieras Dedekinds etafunktion som

η ( τ ) = e π i τ 12 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) . {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi {\rm {{i}\tau }}}{12}}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}).}

Etafunktionen är analytisk i övre planhalvan men kan inte fortsättas analytiskt utanför den.

Absoluta värdet av Eulers funktion i enhetsskivan sådan att svart = 0, röd = 4
Diskriminantens reella del som en funktion av q.

Etafunktionen satisfierar funktionalekvationerna

η ( τ + 1 ) = e π i 12 η ( τ ) , {\displaystyle \eta (\tau +1)=e^{\frac {\pi {\rm {i}}}{12}}\eta (\tau ),\,}
η ( − 1 τ ) = − i τ η ( τ ) . {\displaystyle \eta (-{\tfrac {1}{\tau }})={\sqrt {-{\rm {i}}\tau }}\eta (\tau ).\,}

Mer generellt, antag att a, b, c, d är heltal med ad − bc = 1, sådana att

τ ↦ a τ + b c τ + d {\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}

är en transformation i modulära gruppen. Vi kan anta att antingen c > 0 eller c = 0 och d = 1. Då är

η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 2 η ( τ ) , {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}

där

ϵ ( a , b , c , d ) = e b i π 12 ( c = 0 , d = 1 ) ; {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{\frac {b{\rm {i}}\pi }{12}}\quad (c=0,d=1);}
ϵ ( a , b , c , d ) = e i π [ a + d 12 c − s ( d , c ) − 1 4 ] ( c > 0 ) . {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=e^{{\rm {i}}\pi [{\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}]}\quad (c>0).}

Här betecknar s ( h , k ) {\displaystyle s(h,k)\,} Dedekindsumman

s ( h , k ) = ∑ n = 1 k − 1 n k ( h n k − ⌊ h n k ⌋ − 1 2 ) . {\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}

Speciella värden

η ( i ) = Γ ( 1 4 ) 2 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}
η ( 1 2 i ) = Γ ( 1 4 ) 2 7 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}
η ( 2 i ) = Γ ( 1 4 ) 2 11 / 8 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (2i)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}
η ( 4 i ) = − 1 + 2 4 Γ ( 1 4 ) 2 29 / 16 π 3 / 4 {\displaystyle \eta (4i)={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\;\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{29}/16}\pi ^{3/4}}}}

Se även

  • Chowla–Selbergs formel
  • Weierstrass elliptiska funktion
  • Heltalspartition
  • Supersträngteori

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind eta function, 7 mars 2014.

Källor

  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 41 (1990), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97127-0 Se kapitel 3.
  • Neil Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms (2 ed), Graduate Texts in Mathematics 97 (1993), Springer-Verlag, ISBN 3-540-97966-2