Dedekindsumma

En dedekindsumma är en slags summor som innehåller summor och produkter av sågtandskurvan.

Definition

Definiera sågtandsfunktionen ${\displaystyle \left(\left(\right)\right):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ som

${\displaystyle ((x))={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{om }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{om }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

Då definieras

${\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n{\bmod {c}}}\left({\Bigg (}{\frac {an}{c}}{\Bigg )}\right)\left(\left({\frac {bn}{c}}\right)\right)}$

Då a=1 skrivs funktionen ofta som

s(b,c) = D(1,b;c).

Reciprocitetslagen

Om b och c är relativt prima heltal är

${\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.}$

En generalisering av Hans Rademacher är följande: om a,b och c är parvis relativt prima är

${\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.}$

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dedekind sum, 21 november 2013.