Dickmans funktion

Dickman–de Bruijns funktion ρ(u) utritad i en logaritmisk skala.

Inom analytisk talteori är Dickmans funktion eller Dickman–de Bruijns funktion ρ en speciell funktion som används till att uppskatta antalet släta tal mindre än en given storhet. Den introducerades av Karl Dickman i hans enda matematiska publikation och studerades vidare av Nicolaas Govert de Bruijn.[1][2][3]

Definition

Dickman-de Bruijns funktion ρ ( u ) {\displaystyle \rho (u)} är en kontinuerlig funktion som satisfierar differentialekvationen

u ρ ′ ( u ) + ρ ( u − 1 ) = 0 {\displaystyle u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,}

med villkoret ρ ( u ) = 1 {\displaystyle \rho (u)=1} för 0 ≤ u ≤ 1. Dickman bevisade att då a {\displaystyle a} är fixerat är

Ψ ( x , x 1 / a ) ∼ x ρ ( a ) {\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,}

där Ψ ( x , y ) {\displaystyle \Psi (x,y)} är antalet y-glatta tal inte större än x.

V. Ramaswami bevisade senare att Ψ ( x , x 1 / a ) {\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})} är asymptotiskt lika med x ρ ( a ) {\displaystyle x\rho (a)} med felterm

Ψ ( x , x 1 / a ) = x ρ ( a ) + O ( x / log ⁡ x ) . {\displaystyle \Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O(x/\log x).} [4]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dickman function, 5 februari 2014.

Noter

  1. ^ Dickman, K. (1930). ”On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude”. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik 22A (10): sid. 1–14. 
  2. ^ de Bruijn, N. G. (1951). ”On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y”. Indagationes Mathematicae 13: sid. 50–60. http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597499.pdf. 
  3. ^ de Bruijn, N. G. (1966). ”On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II”. Indagationes Mathematicae 28: sid. 239–247. http://alexandria.tue.nl/repository/freearticles/597534.pdf. 
  4. ^ Ramaswami, V. (1949). ”On the number of positive integers less than x {\displaystyle x} and free of prime divisors greater than xc”. Bulletin of the American Mathematical Society 55: sid. 1122–1127. http://www.ams.org/bull/1949-55-12/S0002-9904-1949-09337-0/S0002-9904-1949-09337-0.pdf. 

Externa länkar

  • Broadhurst, David (2010). ”Dickman polylogarithms and their constants”. https://arxiv.org/abs/1004.0519. 
  • Soundararajan, K. (2010). ”An asymptotic expansion related to the Dickman function”. https://arxiv.org/abs/1005.3494. 
  • Weisstein, Eric W., "Dickman function", MathWorld. (engelska)