Dirichletserie

Inom matematiken är en Dirichletserie (benämnd efter Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) en serie

∑ n = 1 ∞ a n n s , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}

där s är ett komplext tal och a är en följd av komplexa tal. Dirichletserier är specialfall av allmänna Dirichletserier.

Dirichletserier spelar en viktig roll inom analytisk talteori. Riemanns zetafunktion definieras oftast som en Dirichletserie, såsom även L-funktioner. Det har förmodats Selbergklassen satisfierar generaliserade Riemannhypotesen. Serierna är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Exempel

Den kändaste Dirichletserien är Riemanns zetafunktion

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

En annan serie är

1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}

där μ(n) är Möbiusfunktionen. Denna, och många andra serier kan bevisas genom att använda Möbiusinversion och Dirichletfaltning till kända serier.

Dirichlets L-funktion definieras som

L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}

där χ är en Dirichletkaraktär.

En viktig klass av Dirichletserier är Selbergklassen.

Se även

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Dirichlet series, 11 mars 2014.

Källor

  • Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 
  • Hardy, G.H.; Riesz, Marcel (1915). The general theory of Dirichlet's series. Cambridge Tracts in Mathematics. "18". Cambridge University Press 
  • The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
  • Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). ”A catalogue of interesting Dirichlet series”. Miss. J. Math. Sci. 20 (1). Arkiverad från originalet den 2 oktober 2011. https://web.archive.org/web/20111002201720/http://www.math-cs.ucmo.edu/~mjms/2008-1p.html. 
  • Mathar, Richard J. (2011). ”Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions”. https://arxiv.org/abs/1106.4038. 
  • Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. "46". Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7 
  • Dirichlet series, PlanetMath.org (engelska)
v • r
L-funktioner inom talteori
Analytiska exempel
Riemanns zetafunktion · Dirichlets L-funktion · L-funktioner av Heckekaraktärer · Automorfisk L-funktion · Selbergklass
Algebraiska exempel
Dedekinds zetafunktion · Artins L-funktion · Hasse–Weils L-funktion · Motiviska L-funktionen
Satser
Analytisk klasstalsformel · Riemann–von Mangoldts formel · Weilförmodandena
Analytiska förmodanden
Riemannhypotesen · Genereliserade Riemannhypotesen · Lindelöfhypotesen · Ramanujan–Peterssons förmodan · Artins förmodan · Weilförmodandena
Algebraiska förmodanden
Birch–Swinnerton-Dyers förmodan · Delignes förmodan · Beilinsons förmodanden · Bloch–Katos förmodan · Langlands program
p-adiska L-funktioner