Fibonaccipolynom

Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som kan ses som en generalisering av Fibonaccital och definieras av

${\displaystyle F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=1\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{om }}n=2\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{om }}n\geq 3\end{matrix}}\right.}$

De första fibonaccipolynomen är:

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

Värdet av det n:te fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te fibonaccitalet.

Identiteter

Några identiteter för Fibonaccipolynomen är

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}.\,}$

Fibonaccipolynomen kan skrivas i sluten form som

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}}}$

där

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}\,}$

är lösningarna (i t) av

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$

Genererande funktion

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

Se även

• Lucaspolynom